O cliente do exercício anterior ao receber as 100 lâmpadas resolve testar algumas. Calcule a probabilidade de num grupo de dez lâmpadas aparecer uma fundida se:
As extrações forem com reposição.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao testar um grupo de 10 lâmpadas retiradas com reposição de um lote de 100, aparecer exatamente uma lâmpada fundida. As informações relevantes que temos:
  • Tamanho do grupo (número de extrações): 10.
  • As extrações são com reposição, o que implica que cada teste é independente e a probabilidade de uma lâmpada ser fundida é a mesma em cada retirada.
  • Não foi dado explicitamente o número de lâmpadas fundidas entre as 100. Vou chamar de m o número de lâmpadas fundidas no lote de 100 e definir
p=\frac{m}{100},
ou seja, p é a probabilidade de, em uma retirada aleatória (com reposição), a lâmpada estar fundida. Se o enunciado anterior fornecer m, basta substituir aqui.

Passo 2

Explicar o modelo que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Cada retirada é um ensaio de Bernoulli: há dois resultados possíveis — “fundida” (sucesso, com probabilidade p) ou “não fundida” (falha, com probabilidade 1-p).
  • Como há 10 ensaios independentes e queremos a probabilidade de exatamente 1 sucesso, isso é um caso clássico da distribuição binomial.
  • A fórmula da distribuição binomial diz que, para n ensaios independentes com probabilidade de sucesso p em cada ensaio, a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos é
\Pr(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher os k ensaios que dão sucesso entre os n ensaios.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Aqui n=10 e k=1. O coeficiente binomial é
\binom{10}{1}=10,
pois há 10 posições possíveis para colocar a única lâmpada fundida entre as 10 testadas.
  • Substituindo na fórmula binomial:
\Pr(\text{exatamente 1 fundida})=\binom{10}{1} p^{1} (1-p)^{9}=10\,p\,(1-p)^{9}.

Passo 4

Interpretação prática e como usar na prova.
  • Se na prova o enunciado der o número m de lâmpadas fundidas entre as 100, calcule primeiro
p=\frac{m}{100},
depois substitua na fórmula \,10p(1-p)^{9}.
  • Exemplo numérico para fixar a ideia: se houver m=5 lâmpadas fundidas entre as 100, então p=\dfrac{5}{100}=0{,}05 e
\Pr(\text{exatamente 1})=10\cdot 0{,}05\cdot(1-0{,}05)^{9}=10\cdot 0{,}05\cdot(0{,}95)^{9}\approx 0{,}3151.
Isso significa cerca de 31{,}5\% de chance de encontrar exatamente uma fundida em 10 testes com reposição, no caso m=5.

Resposta

10\,p\,(1-p)^{9}
\text{com }p=\dfrac{m}{100}\\ (\text{onde }m\text{ é o número de lâmpadas fundidas entre as }100)éúâ

Exercícios relacionados