O cliente do exercício anterior ao receber as 100 lâmpadas resolve testar algumas. Calcule a probabilidade de num grupo de dez lâmpadas aparecer uma fundida se:
As extrações forem com reposição.
As extrações forem com reposição.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao testar um grupo de
lâmpadas retiradas com reposição de um lote de
, aparecer exatamente uma lâmpada fundida. As informações relevantes que temos:
- Tamanho do grupo (número de extrações):
. - As extrações são com reposição, o que implica que cada teste é independente e a probabilidade de uma lâmpada ser fundida é a mesma em cada retirada.
- Não foi dado explicitamente o número de lâmpadas fundidas entre as
. Vou chamar de o número de lâmpadas fundidas no lote de e definir
ou seja,
é a probabilidade de, em uma retirada aleatória (com reposição), a lâmpada estar fundida. Se o enunciado anterior fornecer
, basta substituir aqui.
Passo 2
Explicar o modelo que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
- Cada retirada é um ensaio de Bernoulli: há dois resultados possíveis — “fundida” (sucesso, com probabilidade
) ou “não fundida” (falha, com probabilidade ). - Como há
ensaios independentes e queremos a probabilidade de exatamente sucesso, isso é um caso clássico da distribuição binomial. - A fórmula da distribuição binomial diz que, para
ensaios independentes com probabilidade de sucesso em cada ensaio, a probabilidade de ocorrerem exatamente sucessos é
onde
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher os
ensaios que dão sucesso entre os
ensaios.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao nosso caso.
- Aqui
e . O coeficiente binomial é
pois há
posições possíveis para colocar a única lâmpada fundida entre as
testadas.
- Substituindo na fórmula binomial:
Passo 4
Interpretação prática e como usar na prova.
- Se na prova o enunciado der o número
de lâmpadas fundidas entre as , calcule primeiro
depois substitua na fórmula
.
- Exemplo numérico para fixar a ideia: se houver
lâmpadas fundidas entre as , então e
Isso significa cerca de
de chance de encontrar exatamente uma fundida em
testes com reposição, no caso
.