Um feixe luminoso de comprimento de onda de 630 nm incide sobre uma fenda dupla, com fendas de largura de 0,08 \mathrm{~mm} e separadas por uma distância de 0,25 \mathrm{~mm}, e produz em um anteparo uma figura de difração. Determine a razão entre a intensidade luminosa da franja clara de ordem \mathrm{m}=4 a intensidade do máximo central. (Resp: 1)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a razão entre a intensidade da franja clara de ordem m=4 e a intensidade do máximo central:
\lambda = 630\\ \text{nm},\qquad a = 0{,}08\\ \text{mm},\qquad d = 0{,}25\\ \text{mm},\qquad m=4.
O que devemos encontrar é a razão I_{m=4}/I_{\text{central}}.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que descreve a intensidade para duas fendas de largura finita. A amplitude resultante, para um ângulo \theta, é proporcional ao produto da contribuição da difração de uma única fenda e da interferência entre as duas fendas. Em termos das grandezas padrão define-se
\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda},\qquad \alpha = \frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}.
A amplitude total é proporcional a \dfrac{\sin\beta}{\beta}\cdot 2\cos\alpha. Portanto a intensidade (proporcional ao quadrado da amplitude) é
I(\theta)=4\cos^2\!\alpha\;\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2}.
Aqui cada termo tem papel claro: \left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 é o envelope de difração da fenda única (modula a altura das franjas) e \cos^2\!\alpha descreve as franjas de interferência entre as duas fendas.

Passo 3

A intensidade do máximo central ( \theta=0) vale, pela fórmula acima, I_{\text{central}}=4, pois \beta=0\Rightarrow(\sin\beta/\beta)^2=1 e \alpha=0\Rightarrow\cos^2\!0=1. Assim a razão pedida pode ser escrita como
\frac{I(\theta)}{I_{\text{central}}}=\cos^2\!\alpha\;\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2}.
Para as franjas de interferência de ordem m vale a condição de máximo de interferência
d\sin\theta = m\lambda,
logo \alpha = \dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda} = \pi m. Então \cos^2\!\alpha=\cos^2(\pi m)=1 (pois \cos(\pi m)=\pm1). Portanto, no máximo de ordem m, a razão reduz-se ao fator da difração da fenda única:
\frac{I_{m}}{I_{\text{central}}}=\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2}\quad\text{com}\quad \beta = \frac{\pi a m}{d}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \dfrac{a m}{d}:
\frac{a m}{d}=\frac{0{,}08\cdot 4}{0{,}25}= \frac{0{,}32}{0{,}25}=1{,}28.
Portanto
\beta=\pi\cdot 1{,}28 = 1{,}28\pi \approx 4{,}0212386.
Calculamos \sin\beta. Observando que 1{,}28\pi=\pi+0{,}28\pi temos \sin(1{,}28\pi)=-\sin(0{,}28\pi), e numericamente
\sin\beta \approx -0{,}7710605.
Agora o quociente
\frac{\sin\beta}{\beta}\approx\frac{-0{,}7710605}{4{,}0212386}\approx -0{,}191754.
Elevando ao quadrado (o sinal some):
\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2}\approx (0{,}191754)^{2}\approx 0{,}03673.

Passo 5

Interpretação final: a razão entre a intensidade da franja clara de ordem m=4 e a intensidade do máximo central é aproximadamente 0{,}03673, ou seja cerca de 3{,}67\% do máximo central. Isso ocorre porque, embora haja um máximo de interferência na ordem m=4, o envelope de difração da fenda única reduz muito a intensidade nessa direção.

Resposta

0{,}03673

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