A ) Experiência termômetro de gás- A ) Usando os dados abaixo determine a temperatura do zero absoluto \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}. B) Como você determina os limites de medições diretas da propriedade termométrica deste termômetro de gás? C) Qual a menor variação de temperatura que este termômetro é capaz de medir sabendo-se que a menor variação da medida pressão é 1 mmHg ?
Diferença de altura das colunas de \mathrm{Hg}(\mathrm{cm})
Dados experimentais:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
62,3
98 46,6
0.4 13,5
-196

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • A) Determinar experimentalmente a temperatura do zero absoluto em graus Celsius usando os dados do termômetro a gás.
  • B) Determinar os limites de medições diretas da propriedade termométrica (a propriedade medida é a pressão do gás, inferida pela diferença de coluna de mercúrio).
  • C) Encontrar a menor variação de temperatura detectável sabendo que a menor variação de pressão detectável é 1 mmHg.
Dados relevantes fornecidos (peguei estes valores da tabela e da figura):
  • Medições (temperatura e diferença das colunas de Hg): T_1 = 98{ }^\circ\mathrm{C} com \Delta h_1 = 46{,}6\\ \mathrm{cm}; T_2 = 0{,}4{ }^\circ\mathrm{C} com \Delta h_2 = 13{,}5\\ \mathrm{cm}. (Estes dois pares são os que usaremos para ajustar a relação linear.)
  • Da figura peguei o valor do nível de mercúrio que representa a pressão atmosférica no reservatório aberto: P_{\text{atm}} = 75\\ \mathrm{cm\;Hg} (marcado na figura).
  • Da figura também tomei as dimensões que limitam a diferença máxima de coluna: nível mais alto possível indicado =120\\ \mathrm{cm} e nível mais baixo possível =15\\ \mathrm{cm}. Usarei isto para estimar a diferença máxima de coluna \Delta h_{\max}=120-15=105\\ \mathrm{cm}. Vou explicitar quando usei cada valor ao longo da resolução.
Observações: toda pressão será tratada em unidades de cm de Hg para compatibilidade com os dados da figura/tabela; 1 cmHg = 10 mmHg.

Passo 2

Princípios físicos e relação matemática (aula curta):
  • Um termômetro a volume constante mede pressão do gás. Pela lei dos gases (a volume constante), a pressão absoluta do gás é proporcional à temperatura absoluta (em kelvin). Escrevemos
P_{\text{gás}} = k\,T_{\text{abs}},á
onde P_{\text{gás}}á é a pressão absoluta do gás (em cmHg), T_{\text{abs}} é a temperatura absoluta em kelvin e k é uma constante proporcional ao conteúdo de gás e ao volume (constante do aparelho).
  • Relação entre temperatura em Celsius e kelvin: T_{\text{abs}} = T_{\mathrm{C}} + 273{,}15, onde T_{\mathrm{C}} é em graus Celsius.
  • O manômetro de mercúrio nos fornece a diferença de coluna \Delta h (em cm). A pressão absoluta do gás é a soma da pressão atmosférica e da contribuição de \Delta h:
P_{\text{gás}} = P_{\text{atm}} + \Delta h.á
  • Combinando, obtemos uma relação linear entre a pressão absoluta medida e a temperatura em Celsius:
P_{\text{atm}} + \Delta h = k\,(T_{\mathrm{C}} + 273{,}15).
Isto pode ser reescrito como uma equação linear do tipo
P = a\,T_{\mathrm{C}} + b,
onde P é P_{\text{gás}}á em cmHg, a=k e b = k\cdot 273{,}15. Na prática, vamos ajustar a reta entre P e T_{\mathrm{C}} usando dois pontos experimentais e extrapolar para P=0 (pressão nula) para achar a temperatura correspondente — essa temperatura é a estimativa experimental do zero absoluto em °C.

Passo 3

Converter os dados de \Delta h em pressões absolutas (usei P_{\text{atm}}=75\\ \mathrm{cmHg} da figura):
  • Para T_1 = 98{ }^\circ\mathrm{C} e \Delta h_1 = 46{,}6\\ \mathrm{cm}:
P_1 = P_{\text{atm}} + \Delta h_1 = 75 + 46{,}6 = 121{,}6\\ \mathrm{cmHg}.
  • Para T_2 = 0{,}4{ }^\circ\mathrm{C} e \Delta h_2 = 13{,}5\\ \mathrm{cm}:
P_2 = P_{\text{atm}} + \Delta h_2 = 75 + 13{,}5 = 88{,}5\\ \mathrm{cmHg}.
Expliquei: converti \Delta h em pressão absoluta somando à pressão atmosférica indicada na figura.

Passo 4

Ajuste linear (cálculo da constante a e do termo independente b) e fórmula para o zero absoluto experimental:
  • A inclinação da reta P versus T_{\mathrm{C}} é
a = \frac{P_1 - P_2}{T_1 - T_2} = \frac{121{,}6 - 88{,}5}{98 - 0{,}4}.
Calculemos numericamente:
a = \frac{33{,}1}{97{,}6} \approx 0{,}339344\\ \mathrm{cmHg/^\circ C}.
  • O termo independente b vem de b = P_1 - a T_1:
b = 121{,}6 - 0{,}339344\cdot 98 \approx 121{,}6 - 33{,}249 = 88{,}351\\ \mathrm{cmHg}.
  • A temperatura do zero absoluto experimental T_{\text{zero}} é o T_{\mathrm{C}} tal que P=0. Da reta P = a T_{\mathrm{C}} + b temos
0 = a\,T_{\text{zero}} + b \quad\Rightarrow\quad T_{\text{zero}} = -\frac{b}{a}.

Passo 5

Cálculo numérico do zero absoluto com os valores anteriores:
T_{\text{zero}} = -\frac{88{,}351}{0{,}339344} \approx -260{,}32\\ ^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: este valor é a estimativa experimental do zero absoluto com os dados fornecidos e com a pressão atmosférica tomada da figura. É esperado algum erro experimental; o valor tabulado é -273{,}15{ }^\circ\mathrm{C}, então aqui o experimento dá aproximadamente -260{,}3{ }^\circ\mathrm{C} (diferença de ordem de 13 °C), o que é razoável para um experimento simples com manômetro e erros de leitura.

Passo 6

Resposta à pergunta B — limites de medições diretas da propriedade termométrica:
  • O que limita as medições diretas é a amplitude de \Delta h que o manômetro consegue registrar sem transbordamento das colunas de mercúrio. Da figura tomei os níveis extremos indicados: nível mais alto possível =120\\ \mathrm{cm} e mais baixo =15\\ \mathrm{cm}. Assim a diferença máxima de coluna possível (antes de transbordo) é
\Delta h_{\max} = 120 - 15 = 105\\ \mathrm{cm}.
  • Em termos de pressão absoluta isso significa pressão máxima medida:
P_{\max} = P_{\text{atm}} + \Delta h_{\max} = 75 + 105 = 180\\ \mathrm{cmHg}.
  • A menor pressão física possível é P=0 (pressão nula do gás). Essa condição corresponde a \Delta h = -P_{\text{atm}} = -75\\ \mathrm{cm} (porque P_{\text{gás}}=P_{\text{atm}}+\Delta há). Note que |-75| < 105, ou seja, o manômetro tem amplitude suficiente para chegar até essa diferença sem transbordo (teoricamente).
  • Convertendo essas pressões para temperaturas usando a reta encontrada P=aT_{\mathrm{C}}+b:
    • Para P_{\max}=180\\ \mathrm{cmHg}:
    T_{\max} = \frac{P_{\max} - b}{a} = \frac{180 - 88{,}351}{0{,}339344} \approx 270{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • Para P=0 (limite inferior físico do gás):
    T_{\min} = -\frac{b}{a} \approx -260{,}3\\ ^\circ\mathrm{C},que é justamente a estimativa do zero absoluto encontrada antes.
  • Portanto, usando os valores da figura, a faixa direta de temperaturas que o conjunto manômetro–reservatório pode cobrir sem transbordo é aproximadamente
T_{\min}\approx -260{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}\quad\text{até}\quad T_{\max}\approx 270{,}1\\ ^\circ\mathrm{C}.é
  • Observação física importante (didática e prática): o limite inferior real de medição também é restrito pelo fato de que o gás do termômetro pode condensar (ou comportamento real do gás deixa de ser ideal) antes de se alcançar pressões muito baixas; além disso leituras muito próximas de P=0 são impraticáveis. Então o intervalo acima é o intervalo geométrico/teórico dado pelo manômetro combinado com o ajuste experimental, mas na prática a faixa útil pode ser mais restrita.

Passo 7

Resposta à pergunta C — menor variação de temperatura detectável quando a menor variação de pressão detectável é 1 mmHg:
  • Primeiro convertemos 1 mmHg para cmHg: 1\\ \mathrm{mmHg} = 0{,}1\\ \mathrm{cmHg}.
  • A inclinação que relaciona pressão e temperatura é a \approx 0{,}339344\\ \mathrm{cmHg/^\circ C}. Em mmHg por grau isso é a_{\mathrm{mm}} = 10a \approx 3{,}39344\\ \mathrm{mmHg/^\circ C}.
  • A menor variação de temperatura correspondente a 1 mmHg é
\Delta T = \frac{1\\ \mathrm{mmHg}}{a_{\mathrm{mm}}} = \frac{1}{3{,}39344}\\ ^\circ\mathrm{C} \approx 0{,}2948\\ ^\circ\mathrm{C}.
Assim, com resolução de 1 mmHg o termômetro detectaria, idealmente, variações de temperatura da ordem de 0{,}295\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A) -260{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}
B) Faixa teórica de medição sem transbordo: aproximadamente -260{,}3\\ ^\circ\mathrm{C} até 270{,}1\\ ^\circ\mathrm{C} (usei \Delta h_{\max}=105\\ \mathrm{cm} e P_{\text{atm}}=75\\ \mathrm{cmHg} da figura).
C) \approx 0{,}295\\ ^\circ\mathrm{C} (para 1 mmHg de resolução).

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