Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes ( \mathrm{N}=5 ), forneceu a tabela:
i 1 2 3 4 5
L_{i}(\mathrm{~m}) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27
a) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos significativos.
72,19 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei os números da tabela):
  • Número de medidas: N=5.
  • Medidas do comprimento em metros:
L_{1}=2{,}21,\quad L_{2}=2{,}26,\quad L_{3}=2{,}24,\quad L_{4}=2{,}22,\quad L_{5}=2{,}27.
A questão pede que, dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrevamos os resultados corretamente em termos de algarismos significativos. (Observação: no enunciado também aparece o número 72{,}19\\ \mathrm{cm}; registro isso como dado textual fornecido, mas a tabela principal é a lista das cinco medidas em metros.)

Passo 2

Calcular a média aritmética das medidas. Explico a fórmula e as variáveis:
  • A média aritmética \bar{L} é a soma das medidas dividida pelo número de medidas N.
\bar{L}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L_{i}.
Substituindo os valores (tudo em metros):
\bar{L}=\frac{2{,}21+2{,}26+2{,}24+2{,}22+2{,}27}{5}=\frac{11{,}20}{5}=2{,}24\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: a média é o “centro” das medidas; sempre que repetimos medições queremos reportar esse valor central como melhor estimativa do comprimento.

Passo 3

Calcular os desvios (resíduos) de cada medida em relação à média e a soma dos quadrados desses desvios. Isso é necessário para obter a dispersão das medidas.
  • Para cada i, o desvio é d_{i}=L_{i}-\bar{L}.
    Lista dos desvios (em metros):
d_{1}=2{,}21-2{,}24=-0{,}03,\quad d_{2}=0{,}02,\quad d_{3}=0{,}00,\quad d_{4}=-0{,}02,\quad d_{5}=0{,}03.
  • Os quadrados:
d_{1}^{2}=0{,}0009,\; d_{2}^{2}=0{,}0004,\; d_{3}^{2}=0,\; d_{4}^{2}=0{,}0004,\; d_{5}^{2}=0{,}0009.
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5} d_{i}^{2}=0{,}0026.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral s e o desvio padrão da média (erro padrão) s_{\bar{L}}. Vou explicar as fórmulas e o porquê:
  • O desvio padrão amostral mede a dispersão das medidas individuais em torno da média; a fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N} (L_{i}-\bar{L})^{2}}.
  • O desvio padrão da média (erro padrão) indica a incerteza na média e é dado por
s_{\bar{L}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Agora calculo numérico (em metros):
s=\sqrt{\frac{0{,}0026}{5-1}}=\sqrt{0{,}00065}=0{,}025495\\ \mathrm{m}\\ (\approx0{,}0255\\ \mathrm{m}).
s_{\bar{L}}=\frac{0{,}025495}{\sqrt{5}}=\frac{0{,}025495}{2{,}23607}=0{,}0114\\ \mathrm{m}\\ (\approx0{,}0114\\ \mathrm{m}).
Interpretação curta: as medidas individuais variam tipicamente cerca de 0{,}0255\\ \mathrm{m} (2,55 cm), e a incerteza na média por causa dessa dispersão e do número de repetições é cerca de 0{,}0114\\ \mathrm{m} (1,14 cm).

Passo 5

Regras de algarismos significativos e arredondamento de incerteza:
  • Regra prática comum: a incerteza (aqui s_{\bar{L}}) deve ser dada com, em geral, 1 algarismo significativo; se o primeiro algarismo for 1, muitas vezes se aceita usar 2 algarismos significativos. Vou optar por a regra padrão (1 algarismo significativo) e comentar a alternativa.
  • Depois de arredondar a incerteza, a média deve ser arredondada na mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) da incerteza.
Aplicando ao nosso caso (valores em metros):
  • Temos s_{\bar{L}}=0{,}0114\\ \mathrm{m}. Com 1 algarismo significativo isso vira 0{,}01\\ \mathrm{m}. (Poderíamos usar 0{,}011\\ \mathrm{m} se quiséssemos 2 algarismos significativos porque o primeiro dígito é 1, mas a opção mais comum e mais conservadora é 0{,}01\\ \mathrm{m}.)
  • Então arredondamos a média para a mesma casa decimal (centésimos de metro): \bar{L}=2{,}24\\ \mathrm{m} já está nessa forma.
Portanto, reportando em metros:
\bar{L}=(2{,}24\pm0{,}01)\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter para centímetros (se preferir a unidade cm) e ajustar algarismos:
  • Para converter, multiplicar por 100.
  • Média: 2{,}24\\ \mathrm{m}=224\\ \mathrm{cm}.
  • Incerteza: 0{,}01\\ \mathrm{m}=1\\ \mathrm{cm}.
    Logo, em centímetros:
\bar{L}=(224\pm1)\\ \mathrm{cm}.
Comentário: optar por 224\pm1\\ \mathrm{cm} é consistente com a regra de 1 algarismo significativo na incerteza. Se alguém preferir manter dois dígitos na incerteza (por exemplo 1{,}1\\ \mathrm{cm}), pode também escrever (224{,}0\pm1{,}1)\\ \mathrm{cm}, mas o padrão que usei é mais comum e mais simples para provas.

Resposta

\bar{L}=(2{,}24\pm0{,}01)\\ \mathrm{m}
\bar{L}=(224\pm1)\\ \mathrm{cm}

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