A experiência mostra que 20 % das pessoas que fazem reservas de mesa num certo restaurante deixam de comparecer. Se o restaurante tem 50 mesas e aceita 52 reservas, qual a probabilidade de que seja capaz de acomodar todos os fregueses?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O restaurante tem 50 mesas e aceitou 52 reservas. Sabemos também que 20% das pessoas que fazem reserva não aparecem. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que todas as pessoas que realmente comparecerem consigam uma mesa, ou seja, que no máximo 50 pessoas compareçam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como modelar esse cenário. Cada reserva tem uma chance de 80% (já que 20% não aparecem) de realmente aparecer. Quando temos várias reservas independentes como essas, a situação pode ser descrita pela distribuição binomial. Aqui, o número de reservas é n = 52 e a probabilidade de sucesso (uma pessoa aparecer) é p = 0.8.

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de que no máximo 50 pessoas compareçam. Isso significa que o número de pessoas que aparecem, vamos chamar de k, deve ser k ≤ 50. Matematicamente, queremos calcular P(k ≤ 50).

Passo 4

Calcular exatamente a probabilidade para cada valor de k até 50 seria complicado, então vamos simplificar usando a aproximação normal. Primeiro, calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
mu = n times p = 52 times 0.8 = 41.6
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz52 times 0.8 times 0.2 approx 2.88

Passo 5

Utilizando a aproximação normal, transformamos k = 50 em um valor z usando a fórmula:
z = k - musigma = 50 - 41.62.88 approx 2.91

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, um valor de z ≈ 2.91 corresponde a uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0.9982 ou 99.82%. Isso significa que há 99.82% de chance de que até 50 pessoas compareçam.

Resposta

A probabilidade de que o restaurante consiga acomodar todos os fregueses é de aproximadamente 99,82%.

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