Suponha que temos quatro cofres, cada um com 2 gavetas. Os cofres 1 e 2 têm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma de prata na outra. O cofre 3 tem duas moedas de ouro e o cofre 4 tem duas de prata. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se uma gaveta e encontra-se uma moeda de ouro. Determine a probabilidade de que a outra gaveta contenha
(b) uma moeda de ouro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar. A gente tem quatro cofres, cada um com duas gavetas:
  • Cofre 1 e 2: Uma gaveta tem uma moeda de ouro e a outra uma de prata.
  • Cofre 3: Ambas as gavetas têm moedas de ouro.
  • Cofre 4: Ambas as gavetas têm moedas de prata.
A gente escolhe um cofre ao acaso, abre uma gaveta e encontra uma moeda de ouro. A pergunta é: qual a probabilidade de que a outra gaveta contenha uma moeda de ouro também?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes. A ideia é calcular a probabilidade de estarmos no Cofre 3, dado que encontramos uma moeda de ouro, já que só o Cofre 3 tem duas moedas de ouro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais cofres podem ter sido escolhidos dado que encontramos uma moeda de ouro. Olhando para os cofres:
  • Cofre 1 e 2: Cada um tem uma moeda de ouro e uma de prata. Se abrimos uma gaveta e encontramos uma de ouro, a outra necessariamente tem uma de prata.
  • Cofre 3: Ambas as gavetas têm moedas de ouro.
  • Cofre 4: Não pode ser esse, porque ambas as moedas são de prata, e a gente encontrou uma de ouro.
Então, os possíveis cofres são 1, 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de termos escolhido cada um desses cofres, dado que encontramos uma moeda de ouro.
Como todos os cofres têm a mesma chance de serem escolhidos inicialmente, a probabilidade de escolher qualquer cofre é $ \frac{1}{4} $.
Mas, como encontramos uma moeda de ouro, precisamos ajustar essas probabilidades.
  • Cofre 1 e 2: A probabilidade de encontrar uma moeda de ouro em cada um deles é $ \frac{1}{2} $, porque uma gaveta tem ouro e a outra prata.
  • Cofre 3: A probabilidade de encontrar uma moeda de ouro é $ 1 $, já que ambas as gavetas têm ouro.

Passo 4

Vamos agora aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de estarmos no Cofre 3, dado que encontramos uma moeda de ouro.
Primeiro, calculamos a probabilidade total de encontrar uma moeda de ouro:
P(Ouro) = P(Cofre 1) times P(Ouro | Cofre 1) + P(Cofre 2) times P(Ouro | Cofre 2) + P(Cofre 3) times P(Ouro | Cofre 3) + P(Cofre 4) times P(Ouro | Cofre 4)
Substituindo os valores:
P(Ouro) = 14 times 12 + 14 times 12 + 14 times 1 + 14 times 0 = 18 + 18 + 14 + 0 = 12
Agora, queremos $ P(Cofre 3 | Ouro) $:
P(Cofre 3 | Ouro)

Resposta

A probabilidade de que a outra gaveta contenha uma moeda de ouro é de 50%.

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