4- A experiência mostra que 2 / 3 dos pacientes que têm certa doença recuperam-se sob um tratamento padrão. Uma nova droga promissora será administrada a um grupo de 12 pacientes que têm a doença. Se a clínica decidir aceitar a nova droga como o melhor tratamento apenas se no máximo um desses pacientes não se recuperar, qual a probabilidade de que esta seja desacreditada, ainda que a taxa de recuperação seja igual a 0,8 ?

Passo 1

O enunciado diz que sob o tratamento padrão a taxa de recuperação é tfrac23, mas queremos avaliar a nova droga assumindo que sua taxa real de recuperação é 0,8. Vamos ter n=12 pacientes independentes, cada um com probabilidade de sucesso (recuperação) p=0,8. Precisamos decidir aceitar a nova droga apenas se no máximo um paciente não se recuperar (ou seja, até uma falha). Então o conteúdo aqui é a distribuição binomial.

Passo 2

Seja X o número de pacientes que não se recuperam. Cada paciente falha com probabilidade q = 1 - p = 0,2. Logo
X sim Binomial(n=12,,q=0,2)
A nova droga é desacreditada quando ocorrer mais de uma falha, isto é, quando X >= 2.

Passo 3

Para calcular P(X >= 2) usamos o complementar:
P(X >= 2) ;=; 1 - l[P(X = 0) + P(X = 1)r]
Pelo modelo binomial,
P(X=0) = binom120(0,2)^0(0,8)^12 = (0,8)^12,
P(X=1) = binom121(0,2)^1(0,8)^11 = 12cdot 0,2cdot(0,8)^11

Passo 4

Agora somamos e subtraímos de 1:
P(desacreditada) = 1 - l[(0,8)^12 + 12cdot0,2cdot(0,8)^11r]

Passo 5

Fazendo as contas:
(0,8)^11approx 0,0859, (0,8)^12approx 0,0687,
12cdot0,2cdot(0,8)^11 = 2,4times0,0859 approx 0,2062,
(0,8)^12 + 12cdot0,2cdot(0,8)^11 approx 0,0687 + 0,2062 = 0,2749,
P(desacreditada) approx 1 - 0,2749 = 0,7251

Resposta

A probabilidade de a nova droga ser desacreditada (mesmo com taxa real de recuperação 0,8) é aproximadamente 0,725.

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