Suponha que a renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal com média de \ 15.000 e desvio-padrão deã$3.000 . a) Que percentagem da população terá renda superior a \(\\) 18.600 ?
b) Numa amostra de 50 assalariado, quantos podemos esperar que tenham menos de \ 10.500$ de renda?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A renda X é aproximadamente Normal com média \mu = \$15000 e desvio-padrão \sigma = \$3000. Ou seja, X \sim N(\mu,\sigma^2) com \mu=\$15000 e \sigma=\$3000.
  • Perguntas:
    • (a) Que percentagem da população terá renda superior a \$18600?
    • (b) Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham menos de \$10500 de renda?

Passo 2

Conceito-chave: padronização (z-score) e tabela da Normal padrão.
  • Para uma variável Normal X com média \mu e desvio \sigma, define-se a variável padronizada Z=\frac{X-\mu}{\sigma},que segue a Normal padrão Z\sim N(0,1). A ideia é converter qualquer pergunta sobre X numa pergunta sobre Z, cujo comportamento é tabelado (função de distribuição acumulada \Phi).
  • Fórmulas úteis:
    • Para calcular P(X>a): calcular z=\dfrac{a-\mu}{\sigma} e usar P(X>a)=P(Z>z)=1-\Phi(z).
    • Para calcular P(X<a): calcular z=\dfrac{a-\mu}{\sigma} e usar P(X<a)=P(Z<z)=\Phi(z).
  • Vou aplicar isso ao item (a) agora.

Passo 3

Cálculo do item (a): percentagem com renda superior a \$18600.
  • Calcular o z-score: z=\frac{18600-15000}{3000}=\frac{3600}{3000}=1{,}2.
  • Então P(X>18600)=P\big(Z>1{,}2\big)=1-\Phi(1{,}2).
  • A partir da tabela da Normal padrão (valor de \Phi(1{,}2) consultado na tabela), tem-se \Phi(1{,}2)=0{,}8849.
  • Logo P(X>18600)=1-0{,}8849=0{,}1151.
  • Interpretação: 0{,}1151 corresponde a 11{,}51\% da população.

Passo 4

Cálculo do item (b): probabilidade de um indivíduo ter renda menor que \$10500.
  • Calcular o z-score: z=\frac{10500-15000}{3000}=\frac{-4500}{3000}=-1{,}5.
  • Então P(X<10500)=P\big(Z<-1{,}5\big)=\Phi(-1{,}5).
  • A partir da tabela da Normal padrão (valor de \Phi(-1{,}5) consultado na tabela), tem-se \Phi(-1{,}5)=0{,}0668.
  • Ou seja, a probabilidade de um assalariado escolhido ao acaso ter renda menor que \$10500 é 0{,}0668 (ou 6{,}68\%).

Passo 5

Converter essa probabilidade em número esperado numa amostra de 50 assalariados.
  • Em uma amostra de n=50 independentes, o número Y de assalariados com renda <\$10500 tem distribuição binomial aproximada com parâmetros n=50 e p=0{,}0668 (onde p é a probabilidade calculada).
  • A esperança matemática (valor esperado) da binomial é E[Y]=n\cdot p.
  • Portanto E[Y]=50\cdot 0{,}0668=3{,}34.
  • Interpretação: em média esperamos cerca de 3{,}34 pessoas na amostra de 50. Como número de pessoas deve ser inteiro na prática, isso corresponde a esperar aproximadamente 3 pessoas (às vezes pode ser 3 ou 4 numa amostra concreta).

Resposta

11{,}51\%
3{,}34 (aprox. 3 pessoas)

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