Suponha que a renda média de uma grande comunidade possa ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal com média de
15.000
$3.000
?
b) Numa amostra de 50 assalariado, quantos podemos esperar que tenham menos de
10.500$ de renda?
b) Numa amostra de 50 assalariado, quantos podemos esperar que tenham menos de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A renda
é aproximadamente Normal com média e desvio-padrão . Ou seja, com e .
- A renda
- Perguntas:
- (a) Que percentagem da população terá renda superior a
? - (b) Numa amostra de
assalariados, quantos podemos esperar que tenham menos de de renda?
- (a) Que percentagem da população terá renda superior a
Passo 2
Conceito-chave: padronização (z-score) e tabela da Normal padrão.
- Para uma variável Normal
com média e desvio , define-se a variável padronizada que segue a Normal padrão . A ideia é converter qualquer pergunta sobre numa pergunta sobre , cujo comportamento é tabelado (função de distribuição acumulada ). - Fórmulas úteis:
- Para calcular
: calcular e usar . - Para calcular
: calcular e usar .
- Para calcular
- Vou aplicar isso ao item (a) agora.
Passo 3
Cálculo do item (a): percentagem com renda superior a
.
- Calcular o z-score:
- Então
- A partir da tabela da Normal padrão (valor de
consultado na tabela), tem-se . - Logo
- Interpretação:
corresponde a da população.
Passo 4
Cálculo do item (b): probabilidade de um indivíduo ter renda menor que
.
- Calcular o z-score:
- Então
- A partir da tabela da Normal padrão (valor de
consultado na tabela), tem-se . - Ou seja, a probabilidade de um assalariado escolhido ao acaso ter renda menor que
é (ou ).
Passo 5
Converter essa probabilidade em número esperado numa amostra de
assalariados.
- Em uma amostra de
independentes, o número de assalariados com renda tem distribuição binomial aproximada com parâmetros e (onde é a probabilidade calculada). - A esperança matemática (valor esperado) da binomial é
- Portanto
- Interpretação: em média esperamos cerca de
pessoas na amostra de . Como número de pessoas deve ser inteiro na prática, isso corresponde a esperar aproximadamente pessoas (às vezes pode ser ou numa amostra concreta).