1. Use os valores conhecidos de \varepsilon_{0}, h, m_{e}, e, p a r a calcular as seguintes quantidades com 4 algarismos significativos: \mathrm{hc} ; \mathrm{e}^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)(\mathrm{em} \mathrm{eV} . \mathrm{nm}) ; \mathrm{mc}^{2} (keV); \mathrm{a}_{0}(\mathrm{~nm}) e \mathrm{E}_{0}(\mathrm{eV}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando os valores conhecidos das constantes \varepsilon_{0}, h, m_{e}, e, as seguintes quantidades com 4 algarismos significativos:
  • hc;
  • \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} (em \mathrm{eV\cdot nm});
  • mc^{2} (em \mathrm{keV});
  • a_{0} (em \mathrm{nm});
  • E_{0} (em \mathrm{eV}).
Lista das informações relevantes que vamos usar (valores padrão CODATA; todos apresentados com vírgula como separador decimal):
\begin{aligned} &h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\\\ &c = 299\,792\,458\\ \mathrm{m\,s^{-1}},\\\ &e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\\\ &m_{e} = 9,1093837015\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\\\ &\varepsilon_{0} = 8,8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}. \end{aligned}
O enunciado não dá unidades alternativas, por isso apresentarei cada grandeza nas unidades pedidas ou nas unidades mais usuais indicadas acima.

Passo 2

Explico as fórmulas que vou usar e o porquê:
  • Para hc usamos a definição direta
hc = h\,c,
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. O resultado fica em \mathrm{J\cdot m}. Para converter para \mathrm{eV\cdot nm} usamos as conversões 1\\ \mathrm{J}=6,241509074\times10^{18}\\ \mathrm{eV} e 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}.
  • Para a constante Coulombiana no formato pedido usamos
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} = k_e e^{2},
onde k_e = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. O resultado inicial está em \mathrm{J\cdot m} e convertemos para \mathrm{eV\cdot nm} com o mesmo fator acima.
  • Para a energia de repouso do elétron usamos
m_{e}c^{2},
que dá um valor em joules; convertemos para \mathrm{eV} e depois para \mathrm{keV}.
  • Para o raio de Bohr usamos a fórmula (derivável da solução do átomo de Bohr ou da mecânica quântica):
a_{0} = \dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}},
onde \hbar = \dfrac{h}{2\pi}. O resultado vem em metros; convertemos para \mathrm{nm} pela relação 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}.
  • Para a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio (energia de Bohr) usamos
E_{0} = -\dfrac{m_{e}e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}.
Essa expressão resulta em joules; convertemos para \mathrm{eV}.
Em todas as conversões usarei 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, isto é 1\\ \mathrm{J}=6,241509074\times10^{18}\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Cálculo de hc.
Fórmula:
hc = h\,c.
Substituindo os valores:
hc = \bigl(6,62607015\times10^{-34}\bigr)\times\bigl(299\,792\,458\bigr)\\ \mathrm{J\cdot m}.
Multiplicando:
hc = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Arredondando para 4 algarismos significativos:
hc = 1,986\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Conversão para \mathrm{eV\cdot nm}:
usar o fator 1\\ \mathrm{J\cdot m} = 6,241509074\times10^{27}\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Então
hc = 1,98644586\times10^{-25}\times6,241509074\times10^{27}\\ \mathrm{eV\cdot nm} = 1,239,841,98\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Arredondando a 4 algarismos significativos obtemos o valor normalmente usado:
hc \approx 1,240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} em \mathrm{eV\cdot nm}.
Fórmula:
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,e^{2}.
Calcule k_{e}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (valor conhecido):
k_{e}\approx 8,9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}}.
Então
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} = k_{e} e^{2} = \bigl(8,9875517923\times10^{9}\bigr)\times\bigl(1,602176634\times10^{-19}\bigr)^{2}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Valor numérico (em \mathrm{J\cdot m}):
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} \approx 2,307077552\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Converter para \mathrm{eV\cdot nm} com o mesmo fator 6,241509074\times10^{27}:
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} \approx 2,307077552\times10^{-28}\times6,241509074\times10^{27}\\ \mathrm{eV\cdot nm} \approx 1,439965\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Arredondando para 4 algarismos significativos:
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} \approx 1,440\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
(Observação: é o valor comumente encontrado como 1,43996\\ \mathrm{eV\cdot nm}, aqui dado com 4 alg. sig.)

Passo 5

Cálculo de m_{e}c^{2} em \mathrm{keV}.
Fórmula:
m_{e}c^{2} = m_{e}\,c^{2}.
Substituindo:
m_{e}c^{2} = \bigl(9,1093837015\times10^{-31}\bigr)\times\bigl(299\,792\,458\bigr)^{2}\\ \mathrm{J}.
Calculando dá aproximadamente
m_{e}c^{2} \approx 8,187105776\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Converter para \mathrm{eV} usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
m_{e}c^{2} \approx \dfrac{8,187105776\times10^{-14}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 510\,998,95\\ \mathrm{eV}.
Em \mathrm{keV}:
m_{e}c^{2} \approx 510,998,95\\ \mathrm{eV} = 510,998,95\times10^{-3}\\ \mathrm{keV}\approx 510,999\\ \mathrm{keV}.
Arredondando para 4 algarismos significativos:
m_{e}c^{2} \approx 511,0\\ \mathrm{keV}.

Passo 6

Cálculo do raio de Bohr a_{0} em \mathrm{nm}.
Fórmula:
a_{0} = \dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}},\qquad \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.
Podemos usar o valor conhecido
a_{0} \approx 5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Converter para \mathrm{nm} ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
a_{0} \approx 5,29177210903\times10^{-11}\times10^{9}\\ \mathrm{nm} = 0,0529177210903\\ \mathrm{nm}.
Arredondando para 4 algarismos significativos:
a_{0} \approx 0,05292\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Cálculo da energia do estado fundamental E_{0} (energia de Bohr) em \mathrm{eV}.
Fórmula (energia do nível n=1 do hidrogênio no modelo de Bohr):
E_{0} = -\dfrac{m_{e}e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}.
Podemos também relacionar E_{0} com a constante de Rydberg R_{\infty} ou usar valor numérico conhecido. Calculando a partir das constantes, obtemos
E_{0} \approx -2,179872361\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Converter para \mathrm{eV}:
E_{0} \approx \dfrac{-2,179872361\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx -13,605693\\ \mathrm{eV}.
Arredondando para 4 algarismos significativos:
E_{0} \approx -13,61\\ \mathrm{eV}.

Resposta

hc = 1,986\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m} (,equivalente a 1,240\\ \mathrm{eV\cdot nm},)
\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} = 1,440\\ \mathrm{eV\cdot nm}
m_{e}c^{2} = 511,0\\ \mathrm{keV}
a_{0} = 0,05292\\ \mathrm{nm}
E_{0} = -13,61\\ \mathrm{eV}

Exercícios relacionados