Em um experimento de absorção feito no Lab. de Física Moderna, os alunos usam uma fonte radioativa de Cs que emite fótons gama ( 662 keV de energia) e fazem a contagem de fótons que atingem um detector em função da espessura de chumbo colocada entre eles. A relação esperada entre as variáveis é dada por:
onde é uma constante chamada coeficiente de atenuação linear.
A tabela abaixo mostra valores encontrados em uma sessão de medidas:
Contagens médias por segundo (C) em função da espessura (x)
de chumbo
C (1/s) 329,3 283,1 223,9 170,7 132,3 118,1
x (cm) 0,1030 0,2135 0,4015 0,6035 0,8045 0,9115
Neste exercício:
  1. Linearize a equação acima;
  2. Construa outra tabela com os valores dos dados de acordo com a linearização escolhida;
  3. Use Regressão Linear para calcular os coeficientes A e B da melhor reta ;
  4. Determine a constante .
Resultados
Atenção: Para garantir que a correção automática funcione:
  • a) Não use notação científica.
  • b) Anote seus resultados numéricos pelo menos até a casa dos milésimos, mesmo que vocé ache que isso viola nossas regras sobre algarismos significativos.
Linearização:
Valor de

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de atenuação exponencial de fótons numa placa de chumbo, cuja lei é
C = C0,e^-k x
onde C é a contagem por segundo, x a espessura de chumbo e k o coeficiente de atenuação linear. Vamos linearizar essa relação, montar a tabela dos dados transformados, aplicar regressão linear para achar a reta
Y = A + B,X
e, finalmente, determinar k.

Passo 2

Para linearizar, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(C) = ln(C0) - k,x
Logo definimos
Y = ln(C), X = x,
de modo que a reta seja
Y = A + B,X com A = ln(C0), ; B = -k

Passo 3

Calculamos Yi = ln(Ci) para cada par (xi,Ci). Os valores são:
c|c x (cm) & Y = ln(C)hline 0,1030 & 5,7971 0,2135 & 5,6456 0,4015 & 5,4111 0,6035 & 5,1396 0,8045 & 4,8855 0,9115 & 4,7718

Passo 4

Usamos as fórmulas da regressão linear:
B = nsum xi Yi - (sum xi)(sum Yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2, A = sum Yi - Bsum xin,
com n=6. Calculando as somas:
sum xi = 3,0375, sum Yi = 31,6507, sum xi^2 = 2,0598, sum xiYi = 15,3567
Substituindo:
B = 6cdot15,3567 - 3,0375cdot31,65076cdot2,0598 - (3,0375)^2 = -3,99963,1322 = -1,277,
A = 31,6507 - (-1,277),3,03756 = 5,922

Passo 5

Como B = -k, temos
k = -B = 1,277 (cm^-1)

Resposta

Linearização: Y = ln(C)
X = x
A = 5,922
B = -1,277
Valor de k: k = 1,277

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