Em um experimento de aprendizado, os participantes têm que memorizar uma série de fatos e observa-se que t minutos após o experimento os participantes estão aprendendo, em média, a uma taxa dada por A^prime(t)=12raiz4 t+1 fatos por minuto, onde A(t) é o total de fatos memorizados no instante t. Para se calcular a quantidade de fatos aprendidos no instante de tempo t, basta calcular a integral A(t)=integral A^prime(t) d t. Considere que para o instante inicial (t=0), os participantes conseguiram memorizar 7 fatos. Dessa forma, quantos fatos um participante típico aprende no instante 6 minutos?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de aprendizagem em função do tempo, que é a derivada da quantidade total de fatos memorizados. Temos A'(t)=12raiz4t+1 fatos por minuto e a condição inicial A(0)=7. O objetivo é determinar A(t) por integração e, em seguida, calcular A(6).

Passo 2

Para encontrar A(t), precisamos calcular a primitiva de A'(t). Vamos usar a substituição u=4t+1, logo du=4,dt e dt=tfracdu4. Assim,
A(t)=integral A'(t),dt=integral 12raiz4t+1,dt=integral 12raizucdotdu4=3integral u^-tfrac12,du=3cdot2u^tfrac12+C=6raizu+C
Substituindo de volta u=4t+1, obtemos
A(t)=6raiz4t+1+C

Passo 3

Para determinar a constante C, usamos a condição inicial A(0)=7. Substituindo t=0:
A(0)=6raiz4cdot0+1+C=6cdot1+C=6+C=7Rightarrow C=1

Passo 4

Portanto, a função total de fatos memorizados é
A(t)=6raiz4t+1+1
Agora basta avaliar em t=6:
A(6)=6raiz4cdot6+1+1=6raiz25+1=6cdot5+1=31

Resposta

31

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