Em que intervalo(s) a função f(x)=x-819-x é crescente?

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=x−\frac{81}{9−x} e queremos saber em que intervalo(s) ela é crescente. O tema é monotonicidade de funções reais de variável real e vamos precisar do conceito de derivada para estudar isso.

Passo 2

Determinar o domínio: Para que f(x) esteja bem definida, o denominador 9−x não pode ser zero. Logo, x≠9 e o domínio é (-∞,9) ∪ (9,∞).

Passo 3

Cálculo da derivada: Derivando f(x)=x − 81/(9−x), obtemos a derivada da primeira parte igual a 1 e, pela regra da cadeia, da segunda parte:
f'(x)=1 - 81(9 - x)^2

Passo 4

Estudo do sinal de f’: Para f’(x)>0 resolvemos
1 - 81(9 - x)^2 > 0
que equivale a
(9 - x)^2 - 81(9 - x)^2 > 0
Isto dá (9−x)^2>81, ou |9−x|>9. Assim temos 9−x>9 ⇒ x<0, ou 9−x<−9 ⇒ x>18. Intersectando com o domínio, ficam x<0 e x>18.

Resposta

(-∞,0) ∪ (18,∞)

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