Para facilitar o cálculo dos limites considere as ordens de crescimento
Calcule o limite a sequência de somas parciais da série
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da sequência de somas parciais da série
. Isso envolve entender séries infinitas e como somar seus termos de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que
pode ser fatorado como
. Assim, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
usando frações parciais. Sabemos que:
Portanto, o termo geral da nossa série fica:
Passo 4
Vamos somar os primeiros
termos da série para encontrar a soma parcial
:
Quando fazemos essa soma, muitos termos se cancelam (isso é o que chamamos de série telescópica):
Passo 5
Finalmente, para encontrar o limite quando
tende ao infinito, analisamos:
Resposta
O limite da sequência de somas parciais da série é
.