Para facilitar o cálculo dos limites considere as ordens de crescimento
ln (n) ll n^1 / k ll n^k ll a^n ll n!ll n^n
Calcule o limite a sequência de somas parciais da série sumn=1^infty raiz2n^2+n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da sequência de somas parciais da série sumn=1^infty raiz2n^2+n. Isso envolve entender séries infinitas e como somar seus termos de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que n^2 + n pode ser fatorado como n(n + 1). Assim, podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
raiz2n^2 + n = raiz2n(n + 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1n(n + 1) usando frações parciais. Sabemos que:
1n(n + 1) = 1n - 1n + 1
Portanto, o termo geral da nossa série fica:
raiz2n(n + 1) = raiz2 ( 1n - 1n + 1 )

Passo 4

Vamos somar os primeiros N termos da série para encontrar a soma parcial SN:
SN = sumn=1^N raiz2n(n + 1) = raiz2 sumn=1^N ( 1n - 1n + 1 )
Quando fazemos essa soma, muitos termos se cancelam (isso é o que chamamos de série telescópica):
SN = raiz2 ( 1 - 1N + 1 )

Passo 5

Finalmente, para encontrar o limite quando N tende ao infinito, analisamos:
limN to infty SN = limN to infty raiz2 ( 1 - 1N + 1 ) = raiz2 times (1 - 0) = raiz2

Resposta

O limite da sequência de somas parciais da série é raiz2.

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