Considere o lançamento de dois dados não viciados. Seja X uma variável aleatória que representa a soma das faces dos dois dados. Ache a distribuição de probabilidades da variável aleatória X e determine:
a) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 4);
b) A probabilidade de X ser par.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos dois dados não viciados e definimos a variável aleatória X como a soma das faces obtidas. O espaço amostral tem 6\times6=36 resultados equiprováveis. Precisamos (1) achar a distribuição de probabilidade de X, isto é, P(X=k) para k=2,3,\dots,12, (2) calcular \mathrm{P}(X\le4) e (3) calcular a probabilidade de X ser par.

Passo 2

Para cada k\in\{2,\dots,12\} contamos quantos pares (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} satisfazem i+j=k. O número de casos é
\#\{(i,j):i+j=k\}=\begin{cases} k-1,&k=2,3,4,5,6,7,\\\\ 13-k,&k=8,9,10,11,12. \end{cases}
Como há 36 casos ao todo, a distribuição é
P(X=k)=\frac{\begin{cases} k-1,&k=2,\dots,7,\\\\ 13-k,&k=8,\dots,12, \end{cases}}{36}.

Passo 3

Para \mathrm{P}(X\le4) somamos P(X=2)+P(X=3)+P(X=4):
P(X\le4) =\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36} =\frac{6}{36} =\frac{1}{6}.

Passo 4

O evento “ X é par” corresponde a k\in\{2,4,6,8,10,12\}. Logo,
P(X\text{ par}) =\frac{1+3+5+5+3+1}{36} =\frac{18}{36} =\frac{1}{2}.

Resposta

A distribuição de probabilidade de X\) é \[P(X=k)=\frac{\begin{cases} k-1,&k=2,\dots,7,\\\\ 13-k,&k=8,\dots,12, \end{cases}}{36}.
a) \displaystyle P(X\le4)=\frac{1}{6}.\] b) \(\displaystyle P(X\text{ é par})=\frac{1}{2}.

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