Num experimento um bloco retangular de altura h é colocado para flutuar em quatro líquidos separados. No primeiro líquido, que é água, ele flutua totalmente submerso. Nos líquidos A, B e C ele flutua com alturas 3 h / 4,4 h / 5 e 5 h / 9 abaixo das superfícies dos líquidos, respectivamente. Determine as densidades, em relação à densidade da água, do líquido B.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um bloco retangular que flutua em quatro líquidos diferentes. Na água, ele fica totalmente submerso, mas nos líquidos A, B e C, ele fica parcialmente submerso com alturas específicas. A missão aqui é descobrir qual a densidade do líquido B em relação à densidade da água. Para resolver isso, vamos usar o princípio de Arquimedes e entender como a densidade influencia a flutuação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o princípio de Arquimedes. Esse princípio diz que a força de empuxo que age sobre um objeto imerso em um líquido é igual ao peso do líquido deslocado por esse objeto. Em fórmulas, isso fica assim:
Fempuxo = rholíquido cdot g cdot Vsubmerso í
onde:
  • $ \rho_{líquido} $ é a densidade do líquido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ V_{submerso} $ é o volume do objeto submerso.

Passo 3

Como o bloco está flutuando, a força de empuxo é igual ao peso do bloco. O peso do bloco é dado por:
Pbloco = rhobloco cdot g cdot Vbloco
Onde:
  • $ \rho_{bloco} $ é a densidade do bloco,
  • $ V_{bloco} $ é o volume total do bloco.

Passo 4

Igualando as duas expressões (porque estão em equilíbrio):
rholíquido cdot Vsubmerso = rhobloco cdot Vbloco í
Vamos simplificar isso usando a altura submersa. Sabemos que o volume submerso $ V_{submerso} = A \cdot h_{submerso} $, onde $ A $ é a área da base do bloco. Mas como $ A $ aparece nos dois lados da equação, podemos simplificar ainda mais:
Vsubmerso = A cdot hsubmerso í

Passo 5

Na água, o bloco está totalmente submerso, ou seja, $ h_{submerso} = h $. Vamos usar isso para encontrar a densidade do bloco:
hsubmerso = h á
Simplificando:
rhoágua cdot h = rhobloco cdot h á
Como estamos trabalhando com densidades relativas à água, podemos dizer que $ \rho_{bloco} = 1 $.

Passo 6

Agora, vamos analisar o líquido B. A altura submersa é $ \frac{4h}{5} $. Usando a mesma equação:
4h5
Como $ \rho_{bloco} = 1 $:
rhoB cdot 4h5 = rhobloco cdot h

Passo 7

Vamos resolver para $ \rho_{B} $:
rhoB

Resposta

A densidade do líquido B é $ \frac{5}{4} $ vezes a densidade da água.

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