Num experimento um bloco retangular de altura h é colocado para flutuar em quatro líquidos separados. No primeiro líquido, que é água, ele flutua totalmente submerso. Nos líquidos A, B e C ele flutua com alturas 3 h / 4,4 h / 5 e 5 h / 9 abaixo das superfícies dos líquidos, respectivamente. Determine as densidades, em relação à densidade da água, do líquido C.

Passo 1

Vamos lá! Temos um bloco retangular de altura $ h $ que flutua em quatro líquidos diferentes. No primeiro líquido, que é água, o bloco fica totalmente submerso. Nos outros líquidos $ A, B $ e $ C $, ele fica parcialmente submerso, com alturas específicas abaixo da superfície. Nosso objetivo aqui é descobrir a densidade do líquido $ C $ em relação à densidade da água. Para resolver isso, vamos usar o princípio da flutuabilidade e alguns conceitos de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o princípio da flutuabilidade de Arquimedes: um objeto imerso em um líquido sofre uma força de empuxo igual ao peso do líquido deslocado. Se o bloco está flutuando, isso significa que o peso do bloco é igual ao peso do líquido que ele desloca.

Passo 3

Vamos chamar a densidade da água de $ \rho_{água} $ e a densidade do líquido $ C $ de $ \rho_C $. Como o bloco está totalmente submerso na água, podemos dizer que a densidade do bloco $ \rho_{bloco} $ é igual à densidade da água:
rhoágua á

Passo 4

Agora, no líquido $ C $, o bloco está submerso apenas até uma altura de $ \frac{5h}{9} $. Isso significa que apenas essa parte do bloco está deslocando o líquido $ C $. Usando o princípio da flutuabilidade:
C
Onde $ V $ é o volume total do bloco e $ V_{submerso} $ é o volume deslocado pelo bloco no líquido $ C $.

Passo 5

O volume total do bloco $ V $ pode ser representado como área da base $ A $ multiplicada pela altura $ h $:
V
O volume submerso no líquido $ C $ é:
A

Passo 6

Substituindo esses valores na equação do passo 4:
rhoágua times A times h = rhoC times A times 5h9 á
Podemos simplificar $ A $ e $ h $ de ambos os lados:
A á

Passo 7

Para encontrar $ \rho_C $ em relação à densidade da água, isolamos $ \rho_C $:
rhoC á

Resposta

A densidade do líquido $ C $ é $ \frac{9}{5} $ vezes a densidade da água, ou seja, $ \rho_C = \frac{9}{5} \rho_{água} $.

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