Sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada homogênea, de massa m e comprimento l, em relação ao seu centro é Iz=112 m l^2, determine o momento de inércia com relação a extremidade da barrra. Dica: Teorema dos eixos paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o momento de inércia de uma barra delgada até a sua extremidade. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre momento de inércia e o Teorema dos Eixos Paralelos. Para resolver, vamos precisar saber o momento de inércia da barra em relação ao seu centro e aplicar o teorema para mudar o eixo de rotação para a extremidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede a dificuldade que um objeto tem para começar ou parar de girar em torno de um eixo. No nosso caso, já sabemos que o momento de inércia da barra em relação ao seu centro é:
Iz = 112 m l^2
Aqui, $ m $ é a massa da barra e $ l $ é o comprimento.

Passo 3

Agora, para encontrar o momento de inércia em relação à extremidade da barra, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema diz que se você tem o momento de inércia em torno do centro de massa, pode encontrar o momento de inércia em torno de outro eixo que seja paralelo e esteja a uma distância $ d $ do primeiro.
A fórmula do teorema é:
d
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia no novo eixo (nossa extremidade).
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia no centro de massa.
  • $ m $ é a massa.
  • $ d $ é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Vamos identificar os valores para a nossa situação:
  • $ I_{cm} = \frac{1}{12} m l^{2} $
  • A distância $ d $ entre o centro e a extremidade da barra é metade do comprimento, ou seja, $ d = \frac{l}{2} $.
Agora, aplicando o teorema:
Icm = 112 m l^2
Simplificando a expressão:
d

Resposta

O momento de inércia da barra em relação à sua extremidade é:
I = 13 m l^2

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