Sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada homogênea, de massa
e comprimento
, em relação ao seu centro é
, determine o momento de inércia com relação a extremidade da barrra. Dica: Teorema dos eixos paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o momento de inércia de uma barra delgada até a sua extremidade. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre momento de inércia e o Teorema dos Eixos Paralelos. Para resolver, vamos precisar saber o momento de inércia da barra em relação ao seu centro e aplicar o teorema para mudar o eixo de rotação para a extremidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede a dificuldade que um objeto tem para começar ou parar de girar em torno de um eixo. No nosso caso, já sabemos que o momento de inércia da barra em relação ao seu centro é:
Aqui, $ m $ é a massa da barra e $ l $ é o comprimento.
Passo 3
Agora, para encontrar o momento de inércia em relação à extremidade da barra, vamos usar o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema diz que se você tem o momento de inércia em torno do centro de massa, pode encontrar o momento de inércia em torno de outro eixo que seja paralelo e esteja a uma distância $ d $ do primeiro.
A fórmula do teorema é:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia no novo eixo (nossa extremidade).
- $ I_{cm} $ é o momento de inércia no centro de massa.
- $ m $ é a massa.
- $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Vamos identificar os valores para a nossa situação:
- $ I_{cm} = \frac{1}{12} m l^{2} $
- A distância $ d $ entre o centro e a extremidade da barra é metade do comprimento, ou seja, $ d = \frac{l}{2} $.
Agora, aplicando o teorema:
Simplificando a expressão:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação à sua extremidade é: