O experimento clássico de Rutherford levou à descoberta do núcleo atômico e abriu um novo capítulo no estudo da Estrutura da Matéria, ao fazer incidir um feixe de partículas sobre um alvo fixo no laboratório. As partículas desviadas eram observadas com detectores de material cintilante. Experimentos desse tipo são ainda realizados hoje em dia.
A experiência de Rutherford mostrou que, ao atravessar uma lâmina delgada de ouro, uma em cada
partículas alfa é desviada de um ângulo médio superior a
.
Considerando que a lâmina de ouro possui
camadas de átomos e elaborando a hipótese de que este desvio se deve à colisão de partículas alfa com um único núcleo atômico, Rutherford foi capaz de estimar a ordem de grandeza do núcleo.
Se o raio do átomo é da ordem de
, o raio do núcleo, em cm, é da ordem de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá um experimento de Rutherford e pede estimar a ordem de grandeza do raio do núcleo, usando os seguintes dados e perguntas (pegados do enunciado):
- Fração de partículas alfa que saem desviadas por um ângulo maior que
ao atravessar a lâmina: em . Ou seja, a probabilidade total de grande desvio ao atravessar a lâmina é . - A lâmina tem
camadas de átomos. - Raio do átomo (ordem de grandeza):
. - Hipótese de Rutherford mencionada: o desvio grande ocorre quando a partícula alfa colide (ou “acerta”) um único núcleo atômico; portanto o evento de grande desvio pode ser tratado como a partícula “atingir” geometricamente a região do núcleo ao passar por cada átomo.
O que se pede: estimar a ordem de grandeza do raio do núcleo (em cm) e escolher entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Modelagem física e fórmula básica (explicação didática).
- Imagine cada átomo, visto de frente para o feixe, como um disco de raio
(o raio do átomo). O núcleo é um disco bem menor, coaxial, de raio . - Ao atravessar uma camada de átomos, a partícula alfa tem probabilidade aproximada de “acertar” o núcleo igual à razão entre a área do núcleo e a área do átomo (assumindo distribuição aleatória e que um acerto no núcleo causa o grande desvio). Isso porque, em primeira aproximação geométrica, a chance de acertar uma pequena região dentro de um disco grande é a razão das áreas.
- Áreas de círculos: área
vezes o raio ao quadrado. Assim, a probabilidade por camada é
- Ao atravessar
camadas (aqui ), a probabilidade total de sofrer pelo menos um grande desvio é, exata e independentemente entre camadas,
- Como
será muito pequeno, podemos usar a aproximação para pequenas probabilidades:
logo
Essa aproximação é muito comum em estimativas de ordem de grandeza e facilita contas pela linearização.
Passo 3
Aplicando os números dados.
- Temos
e . - Substituindo na aproximação
- Isolando
:
Passo 4
Passo para obter a razão de raios.
- Tirando raiz quadrada em ambos os lados,
Passo 5
Calcular o raio do núcleo usando o raio atômico fornecido.
- Como
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida da consistência e comentários didáticos (não altera o resultado).
- A aproximação
é válida porque . - Portanto, é consistente linearizar
. - A resposta é apenas uma ordem de grandeza — Rutherford não podia calcular números muito precisos com esse raciocínio, mas obteve que o núcleo é milhares de vezes menor que o átomo, o que é exatamente o que mostramos (
).
Passo 7
Conclusão: comparar com as alternativas. O valor obtido é da ordem de
.
Resposta
(a)