No experimento da conservação de energia, a partir de uma esfera maciça de aço que rola na rampa e no final executa um movimento parabólico, explique:
a) Por que a esfera tem que rolar “sempre” em contato com a rampa?
b) Se a esfera deslizasse, em vez de rolar, o valor da velocidade no final da rampa seria maior ou menor?
c) Qual a diferença percentual no valor da velocidade no final da rampa se considerássemos somente o movimento de translação e ignorássemos a rotação da esfera?

Passo 1

Lista clara do enunciado e do que é pedido:
  • Foi dada uma esfera maciça de aço que desce uma rampa e, ao final da rampa, realiza um movimento parabólico (projectile).
  • Supõe‑se o experimento idealizado (não foi informado atrito do ar etc.), e quer‑se entender a energia e velocidade ao final da rampa.
    As perguntas do enunciado são:
    a) Por que a esfera tem que rolar “sempre” em contato com a rampa?
    b) Se a esfera deslizasse (escorregasse) em vez de rolar, a velocidade no final da rampa seria maior ou menor?
    c) Qual a diferença percentual no valor da velocidade no final da rampa se considerássemos somente o movimento de translação e ignorássemos a rotação da esfera?

Passo 2

Definição das variáveis e ideias que vamos usar (aula rápida e calma):
  • m: massa da esfera.
  • R: raio da esfera.
  • v: velocidade do centro de massa da esfera ao final da rampa (o que queremos comparar).
  • \omega: velocidade angular da esfera.
  • I: momento de inércia da esfera em relação ao seu centro. Para uma esfera maciça sólida vale
I=\tfrac{2}{5}\,mR^{2}.
Explanação: o momento de inércia mede “a inércia rotacional”; para cada corpo esse coeficiente muda. Para a esfera maciça o fator \tfrac{2}{5} é padrão (pode ser lembrado ou deduzido por integração, mas aqui só usamos o valor).
Conservação de energia (em caso de rolamento sem deslizamento e sem perdas dissipativas): a energia potencial perdida ao descer uma altura h transforma‑se em energia cinética de translação e de rotação. Escrevemos:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Condição de não deslizamento (rolamento puro): o ponto de contato instantâneo com a rampa está momentaneamente sem velocidade relativa, o que dá a relação
\omega=\frac{v}{R}.
Substituindo I e \omega na equação da energia:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2}{5}mR^{2}\right)\left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
Simplificando:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{5}m v^{2} = \left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}\right)m v^{2} = \tfrac{7}{10}m v^{2}.
Isolando v:
v_{\text{rol}}=\sqrt{\dfrac{10}{7}\,g h}.
Comentário didático: essa expressão mostra que, para uma esfera sólida, nem toda a energia mgh vai para \tfrac12 m v^2 do centro de massa — parte foi “gasta” em rotação.

Passo 3

Resposta didática à pergunta (a): por que ela tem que rolar em contato com a rampa?
  • Para gerar rotação é preciso um torque sobre a esfera. Esse torque é produzido pela força de atrito entre a esfera e a rampa (no caso ideal de rolamento sem deslizamento é atrito estático). Se não houver contato não há força de atrito e, portanto, não há torque que aumente ou mantenha \omega.
  • A condição de rolamento puro ( \omega=v/R) exige que o ponto de contato tenha velocidade instantânea nula em relação à rampa — isso só é possível se houver contato e atrito estático.
  • Observação física simples: a normal e o peso sozinhos não geram torque entorno do centro (para uma rampa plana com força aplicada no ponto de contato), então o atrito é essencial para produzir/regular a rotação.
  • Além disso, na prática a esfera permanece em contato porque a componente normal da reação equilibra a componente da gravidade perpendicular à rampa; só em superfícies com curvatura muito acentuada (por exemplo passar por uma crista) é que pode ocorrer perda de contato.
    Resumo curto (para lembrar na prova): sem contato não há torque de atrito ⇒ sem mecanismo para impor/alterar a rotação ⇒ não há rolamento puro.

Passo 4

Resposta didática à pergunta (b): se a esfera deslizasse em vez de rolar, a velocidade ao final seria maior ou menor?
  • Tem que separar dois cenários possíveis ao falar “deslizar”:
    1. Deslizar sem atrito (hipótese artificial): aí toda energia mgh vira energia de translação e teríamos
    v_{\text{sem rotação, sem atrito}}=\sqrt{2gh},çãque é maior que v_{\text{rol}} (veremos a comparação numérica no Passo 5).
    2. Deslizar com atrito cinético (mais realista): o atrito cinético faz trabalho negativo ao longo do movimento, dissipando energia em calor. Logo a energia mecânica final (energia cinética translacional e possivelmente rotacional) será menor do que no caso sem dissipação. Na situação prática em que a esfera desliza (escorrega) a maior parte do atrito é cinético e há perda de energia. Portanto a velocidade final do centro de massa será, em geral, menor do que no caso ideal de rolamento sem deslizamento (onde não há perda de energia por atrito).
  • Conclusão prática para a prova: se a esfera deslizar com atrito cinético, a velocidade no final será menor do que no caso de rolamento sem deslizamento (porque há dissipação de energia); se descontarmos atrito (caso hipotético) a velocidade seria maior, mas esse caso não é o que “deslizar” usualmente implica experimentalmente.

Passo 5

Cálculo e interpretação numérica para a pergunta (c): diferença percentual entre a velocidade obtida se considerássemos só translação (ignorando rotação) e a velocidade real (rolamento sem deslize).
Velocidade supondo só translação (toda energia potencial vai para \tfrac12 m v^{2}):
v_{\text{trans}}=\sqrt{2gh}.
Velocidade real (rolamento puro, do Passo 2):
v_{\text{rol}}=\sqrt{\dfrac{10}{7}\,g h}.
Queremos a diferença percentual entre esses valores quando comparamos a velocidade ignorando rotação com a velocidade real. Definimos a diferença percentual em relação à velocidade real como
\text{diferença percentual}=\frac{v_{\text{trans}}-v_{\text{rol}}}{v_{\text{rol}}}\times 100\%.ç
Substituindo as expressões:
\frac{v_{\text{trans}}}{v_{\text{rol}}} = \sqrt{\frac{2gh}{\tfrac{10}{7}gh}} = \sqrt{\frac{2}{10/7}} = \sqrt{\frac{14}{10}} = \sqrt{1{,}4}.
Logo
\frac{v_{\text{trans}}-v_{\text{rol}}}{v_{\text{rol}}} = \sqrt{1{,}4}-1.
Calculando numericamente
\sqrt{1{,}4}\approx 1{,}183215956\quad\Rightarrow\quad \sqrt{1{,}4}-1\approx 0{,}183215956.
Convertendo para porcentagem:
\text{diferença percentual}\approx 18{,}32\%.ç
Interpretação: se alguém na prova ignorasse a rotação e usasse v=\sqrt{2gh}, estaria superestimando a velocidade final em cerca de 18{,}3\% em relação ao valor correto para uma esfera maciça que rola sem deslizar.

Passo 6

Resumo didático-final (para colar na cola mental da prova):
  • Rolamento sem deslizamento: parte de mgh vira rotação → velocidade translacional é menor que a prevista por v=\sqrt{2gh}.
  • Se houver deslizamento real (com atrito cinético), ainda se perde energia por dissipação e a velocidade costuma ficar ainda menor.
  • Ignorar rotação produz um erro de cerca de 18{,}3\% na velocidade final para uma esfera maciça.

Resposta

a) Porque o torque que gera/ajusta a rotação vem da força de atrito na superfície; sem contato não há atrito estático nem torque para impor a condição de rolamento ( \omega=v/R).
b) Menor (se a esfera desliza com atrito cinético, esse atrito dissipa energia e reduz a velocidade final, em geral abaixo do caso de rolamento sem deslizamento).
c) A velocidade prevista ao ignorar a rotação é cerca de 18{,}32\% maior; ou seja, a diferença percentual é aproximadamente 18{,}32\%.

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