Um experimento consiste em perguntar a 3 pessoas se usam ou não um sabonete da marca X . Qual o espaço amostral do experimento?
Descreva o evento A: no máximo duas pessoas usam o sabonete da marca X .

Passo 1

O enunciado diz: três pessoas são perguntadas se usam ou não o sabonete da marca X. Pede-se:
  • qual é o espaço amostral do experimento (ou seja, listar todos os resultados possíveis);
  • descrever o evento A: "no máximo duas pessoas usam o sabonete da marca X".
    Informações relevantes fornecidas:
  • Há exatamente 3 pessoas sendo perguntadas.
  • Cada pessoa responde “sim” ou “não” (duas possibilidades por pessoa).

Passo 2

Entendendo as possibilidades individuais: cada pessoa tem duas respostas possíveis — “sim” ou “não”. Vou denotar “sim” por \text{S} e “não” por \text{N}.
Quando há decisões independentes em sequência (a pessoa 1, a pessoa 2 e a pessoa 3), cada combinação de respostas forma um resultado distinto do experimento. Como são 2 possibilidades por pessoa e 3 pessoas, o número total de resultados é
2^{3}=8.
Isso significa que o espaço amostral terá 8 elementos distintos.

Passo 3

Agora vamos enumerar todas as combinações possíveis. Cada resultado será escrito como um triplo (r_1,r_2,r_3), onde r_i é a resposta da pessoa i (na ordem pessoa 1, pessoa 2, pessoa 3). As 8 combinações são:
\Omega=\{(\text{S},\text{S},\text{S}),\;(\text{S},\text{S},\text{N}),\;(\text{S},\text{N},\text{S}),\;(\text{S},\text{N},\text{N}),\;(\text{N},\text{S},\text{S}),\;(\text{N},\text{S},\text{N}),\;(\text{N},\text{N},\text{S}),\;(\text{N},\text{N},\text{N})\}.

Passo 4

Interpretando o evento pedido: "no máximo duas pessoas usam o sabonete da marca X" significa que o número de respostas \text{S} entre as três pessoas é menor ou igual a 2. Em linguagem matemática, isso é o conjunto de resultados onde há 0, 1 ou 2 ocorrências de \text{S}.

Passo 5

Contando e identificando os elementos de A:
  • Casos com 0 pessoas usando ( 0 \text{S}): (\text{N},\text{N},\text{N}). (há 1 caso)
  • Casos com 1 pessoa usando ( 1 \text{S}): (\text{S},\text{N},\text{N}),\;(\text{N},\text{S},\text{N}),\;(\text{N},\text{N},\text{S}). (há 3 casos)
  • Casos com 2 pessoas usando ( 2 \text{S}): (\text{S},\text{S},\text{N}),\;(\text{S},\text{N},\text{S}),\;(\text{N},\text{S},\text{S}). (há 3 casos)
Somando 1+3+3=7 resultados, o que confirma que A tem 7 elementos (tudo menos o caso (\text{S},\text{S},\text{S})).

Passo 6

Escrevendo A explicitamente como subconjunto de \Omega:
A=\{(\text{S},\text{S},\text{N}),\;(\text{S},\text{N},\text{S}),\;(\text{S},\text{N},\text{N}),\;(\text{N},\text{S},\text{S}),\;(\text{N},\text{S},\text{N}),\;(\text{N},\text{N},\text{S}),\;(\text{N},\text{N},\text{N})\}.

Resposta

\Omega=\{(\text{S},\text{S},\text{S}),\;(\text{S},\text{S},\text{N}),\;(\text{S},\text{N},\text{S}),\;(\text{S},\text{N},\text{N}),\;(\text{N},\text{S},\text{S}),\;(\text{N},\text{S},\text{N}),\;(\text{N},\text{N},\text{S}),\;(\text{N},\text{N},\text{N})
A=\{(\text{S},\text{S},\text{N}),\;(\text{S},\text{N},\text{S}),\;(\text{S},\text{N},\text{N}),\;(\text{N},\text{S},\text{S}),\;(\text{N},\text{S},\text{N}),\;(\text{N},\text{N},\text{S}),\;(\text{N},\text{N},\text{N})

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