Encontre o número de soluções inteiras não negativas da equação \mathrm{x}+\mathrm{y}=7.

Passo 1

O enunciado dá a equação \mathrm{x}+\mathrm{y}=7 e pede quantas soluções existem com \mathrm{x} e \mathrm{y} sendo números inteiros não negativos. Informações relevantes que temos:
  • A equação é \mathrm{x}+\mathrm{y}=7.
  • As incógnitas satisfazem \mathrm{x}\in\mathbb{Z}_{\ge0} e \mathrm{y}\in\mathbb{Z}_{\ge0}.
  • O objetivo é contar o número de pares ordenados (\mathrm{x},\mathrm{y}) que satisfazem essas condições.

Passo 2

Raciocínio direto e simples: se \mathrm{x} é um inteiro não negativo, os possíveis valores de \mathrm{x} que fazem sentido são exatamente
\mathrm{x}=0,1,2,3,4,5,6,7,
pois se \mathrm{x}\ge8 então \mathrm{y}=7-\mathrm{x} seria negativo. Para cada valor de \mathrm{x} nessa lista existe um único \mathrm{y} correspondente dado por \mathrm{y}=7-\mathrm{x}, que também será não negativo. Assim há tantas soluções quanto elementos nessa lista de valores de \mathrm{x}.

Passo 3

Listando explicitamente os pares (\mathrm{x},\mathrm{y}) obtidos temos:
(0,7),\\ (1,6),\\ (2,5),\\ (3,4),\\ (4,3),\\ (5,2),\\ (6,1),\\ (7,0).
Contando-os obtemos 8 pares.

Passo 4

Uma forma mais geral (útil para questões semelhantes na prova) é usar a fórmula de contagem conhecida: o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+\dots+x_k=n
é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Aqui k é o número de variáveis ( k=2 no nosso problema) e n é a soma total ( n=7). Aplicando a fórmula ao caso:
\binom{7+2-1}{2-1}=\binom{8}{1}=8.
Breve explicação intuitiva dessa fórmula: pense em n estrelas que representam as unidades a distribuir e em k-1 barras que separam as k caixas; qualquer arranjo de estrelas e barras determina uma distribuição inteira não negativa, e o total de símbolos é n+k-1, escolhendo as posições das barras obtém-se a combinação acima.

Passo 5

Resumo prático para a prova: para \mathrm{x}+\mathrm{y}=7 com \mathrm{x},\mathrm{y}\ge0 basta perceber que \mathrm{x} pode assumir 8 valores distintos, logo há 8 soluções.

Resposta

8

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