Encontre o número de soluções inteiras não negativas da equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede quantas soluções existem com
e
sendo números inteiros não negativos. Informações relevantes que temos:
- A equação é
. - As incógnitas satisfazem
e . - O objetivo é contar o número de pares ordenados
que satisfazem essas condições.
Passo 2
Raciocínio direto e simples: se
é um inteiro não negativo, os possíveis valores de
que fazem sentido são exatamente
pois se
então
seria negativo. Para cada valor de
nessa lista existe um único
correspondente dado por
, que também será não negativo. Assim há tantas soluções quanto elementos nessa lista de valores de
.
Passo 3
Listando explicitamente os pares
obtidos temos:
Contando-os obtemos
pares.
Passo 4
Uma forma mais geral (útil para questões semelhantes na prova) é usar a fórmula de contagem conhecida: o número de soluções inteiras não negativas da equação
é
Aqui
é o número de variáveis (
no nosso problema) e
é a soma total (
). Aplicando a fórmula ao caso:
Breve explicação intuitiva dessa fórmula: pense em
estrelas que representam as unidades a distribuir e em
barras que separam as
caixas; qualquer arranjo de estrelas e barras determina uma distribuição inteira não negativa, e o total de símbolos é
, escolhendo as posições das barras obtém-se a combinação acima.
Passo 5
Resumo prático para a prova: para
com
basta perceber que
pode assumir
valores distintos, logo há
soluções.
Resposta
8