Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas?

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda é lançada 10 vezes e pede a probabilidade de observar exatamente 5 caras e 5 coroas. Informações relevantes e hipótese que vamos usar (assumindo enunciado bem formado):
  • Número de lançamentos: n=10.
  • Evento de interesse: exatamente k=5 caras (e, portanto, 10-5=5 coroas).
  • Pressuposição usual: a moeda é justa, ou seja, a probabilidade de cara em cada lançamento é p=\tfrac{1}{2}.
    Nada mais será pedido — queremos P(\text{exatamente }5\text{ caras}).

Passo 2

Vamos justificar o modelo de cálculo (de forma bem didática). Cada lançamento tem apenas dois resultados possíveis (cara ou coroa), com probabilidade constante p=\tfrac{1}{2} para cara e 1-p=\tfrac{1}{2} para coroa, e os lançamentos são independentes. Em situações assim, o número de caras em n lançamentos segue a chamada distribuição binomial. A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente k sucessos (aqui, caras) em n ensaios independentes é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo com calma:
  • n é o número total de ensaios (aqui n=10).
  • k é o número de sucessos desejados (aqui k=5).
  • p é a probabilidade de sucesso num ensaio (aqui p=\tfrac{1}{2}).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial: o número de maneiras diferentes de escolher quais k entre os n lançamentos serão caras. Esse fator conta as diferentes sequências (por exemplo, CCCC… ou C…C em posições diferentes) que têm exatamente k caras.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial \binom{10}{5}. Pela definição usando fatoriais:
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}.
Explicando o que são fatoriais: para um inteiro positivo m, m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Em vez de calcular 10! inteiro e depois dividir, é mais simples cancelar termos:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora vamos simplificar passo a passo:
  • 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.
  • 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6 = 30240.
    Portanto
\binom{10}{5}=\frac{30240}{120}=252.
Interpretação: existem 252 sequências diferentes de 10 lançamentos que contêm exatamente 5 caras.

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade de uma sequência específica com exatamente 5 caras (por exemplo, cara nos primeiros 5 lançamentos e coroa nos últimos 5). Como os lançamentos são independentes e P(\text{cara})=P(\text{coroa})=\tfrac{1}{2}, a probabilidade dessa sequência específica é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Razão: multiplicamos as probabilidades de cada lançamento (independência) e há 10 fatores de \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Multiplicamos o número de sequências favoráveis pelo peso (probabilidade) de cada sequência para obter a probabilidade total de exatamente 5 caras:
P(\text{5 caras})=\binom{10}{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=252\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\tfrac{1}{1024}, obtemos
P(\text{5 caras})=\frac{252}{1024}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
P(\text{5 caras})=\frac{63}{256}.

Passo 6

Vamos também dar a versão decimal e uma interpretação intuitiva: calculando a divisão,
\frac{63}{256}=0{,}24609375\ldots
Ou seja, aproximadamente 24{,}61\%. Interpretação amigável: em cerca de 1 em cada 4 experimentos de 10 lançamentos de uma moeda justa, espera-se obter exatamente 5 caras e 5 coroas — é o caso mais provável dentre todas as contagens possíveis (pois k=5 é o valor central).

Passo 7

Resumo do raciocínio que precisa ficar na cabeça para a prova (resumido e prático):
  • Identificar que são n ensaios independentes com dois resultados e probabilidade fixa p → usar distribuição binomial.
  • Usar a fórmula \;P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\;.
  • Calcular \binom{n}{k} via fatoriais (ou reduções como fizemos) e calcular a potência de p.
  • No caso de moeda justa, p=\tfrac{1}{2} torna (\tfrac{1}{2})^{n} fácil de lembrar.

Resposta

\dfrac{63}{256} (aproximadamente 0{,}24609375)

Exercícios relacionados