Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas?
Passo 1
O enunciado diz que uma moeda é lançada
vezes e pede a probabilidade de observar exatamente
caras e
coroas. Informações relevantes e hipótese que vamos usar (assumindo enunciado bem formado):
- Número de lançamentos:
. - Evento de interesse: exatamente
caras (e, portanto, coroas). - Pressuposição usual: a moeda é justa, ou seja, a probabilidade de cara em cada lançamento é
.
Nada mais será pedido — queremos.
Passo 2
Vamos justificar o modelo de cálculo (de forma bem didática). Cada lançamento tem apenas dois resultados possíveis (cara ou coroa), com probabilidade constante
para cara e
para coroa, e os lançamentos são independentes. Em situações assim, o número de caras em
lançamentos segue a chamada distribuição binomial. A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente
sucessos (aqui, caras) em
ensaios independentes é:
Explicando cada símbolo com calma:
-
é o número total de ensaios (aqui ). -
é o número de sucessos desejados (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso num ensaio (aqui ). -
é o coeficiente binomial: o número de maneiras diferentes de escolher quais entre os lançamentos serão caras. Esse fator conta as diferentes sequências (por exemplo, CCCC… ou C…C em posições diferentes) que têm exatamente caras.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente binomial
. Pela definição usando fatoriais:
Explicando o que são fatoriais: para um inteiro positivo
,
. Em vez de calcular
inteiro e depois dividir, é mais simples cancelar termos:
Agora vamos simplificar passo a passo:
-
. -
.
Portanto
Interpretação: existem
sequências diferentes de
lançamentos que contêm exatamente
caras.
Passo 4
Agora calculamos a probabilidade de uma sequência específica com exatamente
caras (por exemplo, cara nos primeiros
lançamentos e coroa nos últimos
). Como os lançamentos são independentes e
, a probabilidade dessa sequência específica é
Razão: multiplicamos as probabilidades de cada lançamento (independência) e há
fatores de
.
Passo 5
Multiplicamos o número de sequências favoráveis pelo peso (probabilidade) de cada sequência para obter a probabilidade total de exatamente
caras:
Como
, obtemos
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Vamos também dar a versão decimal e uma interpretação intuitiva: calculando a divisão,
Ou seja, aproximadamente
. Interpretação amigável: em cerca de
em cada
experimentos de
lançamentos de uma moeda justa, espera-se obter exatamente
caras e
coroas — é o caso mais provável dentre todas as contagens possíveis (pois
é o valor central).
Passo 7
Resumo do raciocínio que precisa ficar na cabeça para a prova (resumido e prático):
- Identificar que são
ensaios independentes com dois resultados e probabilidade fixa → usar distribuição binomial. - Usar a fórmula
. - Calcular
via fatoriais (ou reduções como fizemos) e calcular a potência de . - No caso de moeda justa,
torna fácil de lembrar.