Uma pastelaria vende 3 tipos de pastel. Pastel de carne, de frango ou de queijo. De quantas formas uma pessoa pode pedir 5 pasteis?

Passo 1

O enunciado diz: existem 3 tipos de pastel — carne, frango e queijo — e uma pessoa vai pedir 5 pastéis. A pergunta é: de quantas formas diferentes essa pessoa pode pedir 5 pastéis?
Informações dadas:
  • Tipos disponíveis: carne, frango, queijo (3 tipos).
  • Total de pastéis a pedir: 5.
    Observação importante (decisão que não perguntei porque é natural aqui): a ordem em que os pastéis são escolhidos não importa — importa apenas quantos de cada tipo a pessoa pede (por exemplo, pedir 2 de carne, 2 de frango e 1 de queijo é a mesma escolha independentemente da ordem).

Passo 2

Modelar o problema com variáveis: seja
x_1
o número de pastéis de carne,
x_2
o número de pastéis de frango,
x_3
o número de pastéis de queijo.
Então cada pedido corresponde a uma solução inteira não negativa da equação
x_1 + x_2 + x_3 = 5,
com x_1,x_2,x_3 \ge 0.
Explicando devagar: escolher 5 pastéis distribuídos entre 3 tipos é exatamente repartir o total 5 em três “caixinhas” (carne, frango, queijo), podendo alguma caixinha ficar com zero.

Passo 3

Apresentar a técnica: o problema de contar soluções inteiras não negativas da equação
x_1 + x_2 + \dots + x_k = n
é clássico e tem solução pela técnica chamada “estrelas e barras” (stars and bars). A ideia intuitiva:
  • Representar cada uma das n unidades (aqui os 5 pastéis) por uma estrela \ast.
  • Separar as k categorias por k-1 barras |.
    Por exemplo, uma configuração \ast\ast|\ast|\ast\ast corresponderia a x_1=2, x_2=1, x_3=2.
    Qualquer solução corresponde a uma sequência de n estrelas e k-1 barras, ou seja, uma sequência de n+(k-1) símbolos dos quais escolhemos as posições das barras. Portanto o número de soluções é o número de maneiras de escolher as posições das barras entre os n+k-1 lugares, ou equivalentemente
\binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui n=5 e k=3. Logo o número de soluções (formas de pedir) é
\binom{5+3-1}{3-1}=\binom{7}{2}.

Passo 5

Calcular a combinação \binom{7}{2}. Lembrando a fórmula
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}.
Fazendo as contas:
\frac{7\cdot6}{2}=7\cdot3=21.

Passo 6

Um exemplo menor para fixar: se a pessoa pedisse 2 pastéis e ainda houvesse 3 tipos, o número seria
\binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6,
e as soluções seriam explicitamente (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1). Isso mostra concretamente como a técnica relaciona partições com escolhas.

Resposta

\,21

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