Uma pastelaria vende 3 tipos de pastel. Pastel de carne, de frango ou de queijo. De quantas formas uma pessoa pode pedir 5 pasteis?
Passo 1
O enunciado diz: existem 3 tipos de pastel — carne, frango e queijo — e uma pessoa vai pedir 5 pastéis. A pergunta é: de quantas formas diferentes essa pessoa pode pedir 5 pastéis?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Tipos disponíveis: carne, frango, queijo (3 tipos).
- Total de pastéis a pedir:
.
Observação importante (decisão que não perguntei porque é natural aqui): a ordem em que os pastéis são escolhidos não importa — importa apenas quantos de cada tipo a pessoa pede (por exemplo, pedir 2 de carne, 2 de frango e 1 de queijo é a mesma escolha independentemente da ordem).
Passo 2
Modelar o problema com variáveis: seja
o número de pastéis de carne,
o número de pastéis de frango,
o número de pastéis de queijo.
Então cada pedido corresponde a uma solução inteira não negativa da equação
Então cada pedido corresponde a uma solução inteira não negativa da equação
com
.
Explicando devagar: escolher 5 pastéis distribuídos entre 3 tipos é exatamente repartir o total em três “caixinhas” (carne, frango, queijo), podendo alguma caixinha ficar com zero.
Explicando devagar: escolher 5 pastéis distribuídos entre 3 tipos é exatamente repartir o total
Passo 3
Apresentar a técnica: o problema de contar soluções inteiras não negativas da equação
é clássico e tem solução pela técnica chamada “estrelas e barras” (stars and bars). A ideia intuitiva:
- Representar cada uma das
unidades (aqui os pastéis) por uma estrela . - Separar as
categorias por barras .
Por exemplo, uma configuraçãocorresponderia a , , .
Qualquer solução corresponde a uma sequência deestrelas e barras, ou seja, uma sequência de símbolos dos quais escolhemos as posições das barras. Portanto o número de soluções é o número de maneiras de escolher as posições das barras entre os lugares, ou equivalentemente
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
e
. Logo o número de soluções (formas de pedir) é
Passo 5
Calcular a combinação
. Lembrando a fórmula
Fazendo as contas:
Passo 6
Um exemplo menor para fixar: se a pessoa pedisse
pastéis e ainda houvesse
tipos, o número seria
e as soluções seriam explicitamente
. Isso mostra concretamente como a técnica relaciona partições com escolhas.