Um experimento no DBC com 4 repetições forneceu os dados abaixo:
Tratamento Blocos Total
1 2 3 4
1 142,36 144,78 145,19 138,88 571,21
2 139,28 137,77 144,44 130,61 552,10
3 140,73 134,06 136,07 144,11 554,97
4 150,88 135,83 136,97 136,36 560,04
5 153,49 165,02 151,75 150,22 620,48
Total 726,74 717,46 714,42 700,18 2858,80
Para o nível de 5% de significância, pede-se:
a) ANOVA
b) Teste Tukey
c) Teste Duncan
d) Aplicar o teste Scheffé ao contraste C
e) Aplicar o teste t aos contrastes

Passo 1

O enunciado apresenta um delineamento em blocos casualizados (DBC) com a=5 tratamentos e b=4 blocos, totalizando N=20 observações. Temos as somas por tratamento sumjYij e por bloco sumiYij, além do total geral T=sumi,jYij=2858,80. Para resolver precisamos:
  1. Montar a ANOVA em DBC (calcular soma de quadrados de tratamentos, blocos e erro, graus de liberdade, quadrados médios e F).
  2. Fazer o teste de Tukey (comparar diferenças de médias com o valor mínimo significativo).
  3. Fazer o teste de Duncan (agrupar tratamentos em conjuntos homogêneos).
  4. Aplicar o teste de Scheffé ao contraste C=m1+m2-2m5.
  5. Aplicar o teste t aos contrastes C1,C2,C3.

Passo 2

ANOVA em DBC.
Correção geral
G=T^2N=2858,80^220approx408636,872
Somas de quadrados corrigidas:
SQtrat=sumi=1^5Ti^2b-Gapprox794,93, SQbloco=sumj=1^4Bj^2a-Gapprox192,22
SQ total
SQtot=sum Yij^2-Gapprox1273,95,
e SQ erro
SQe=SQtot-SQtrat-SQblocoapprox286,80
Graus de liberdade: dftrat=4, dfbloco=3, dfe=12.
Quadrados médios e estatística F:
MStrat=794,934approx198,73, MSe=286,8012approx23,90, Ftrat=198,7323,90approx8,32
F0,05;4,12=3,26, logo rejeita-se H0 de médias iguais. Blocos não são significativos ( Fblocoapprox2,68<3,49).

Passo 3

Teste de Tukey para alpha=0,05.
Médias dos tratamentos
m1=142,8025,;m2=138,0250,;m3=138,7425,;m4=140,0100,;m5=155,1200
Erro padrão entre pares
SE=raizMSeb=raiz23,904approx2,445
Valor crítico q0,05(5,12)approx4,20, portanto diferença mínima significativa
HSD=qcdot SEapprox4,20times2,445approx10,26
Conclusão: apenas m5 difere significativamente de todos os outros ( |m5-mi|>10,26), e entre m1,m2,m3,m4 não há diferença significativa.

Passo 4

Teste de Duncan: ordenando médias
m2=138,025,;m3=138,7425,;m4=140,01,;m1=142,8025,;m5=155,12
Aplicando os limites de Duncan, obtém-se o mesmo agrupamento do Tukey:
– Grupo A: m5
– Grupo B: m1,m4,m3,m2.

Passo 5

Teste de Scheffé para C=m1+m2-2m5.
Estimativa do contraste
hat C=142,8025+138,0250-2times155,1200=-29,4125
Variância de hat C:
Var(hat C) =MSebsum li^2 =23,904(1^2+1^2+(-2)^2) =35,85,
SE(hat C)=raiz35,85approx5,99
F crítico de Scheffé:
raiz(a-1),F0,05;4,12=raiz4times3,26approx3,61,
limite para hat C: 3,61times5,99approx21,62.
Como |-29,41|>21,62, o contraste é significativo.

Passo 6

Teste t para os contrastes
C1=m1+m2-2m4,; C2=m2+m3-m1-m4,; C3=m1-m2
Seja t0,025,12=2,18. Os valores estimados e estatísticas:
C1approx0,8075,
SE(C1)=raiztfrac23,904(1^2+1^2+(-2)^2)approx5,99,
t1=0,8075/5,99approx0,14.
C2approx-6,045,
SE(C2)=raiztfrac23,904(1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2)approx4,89,
t2=-6,045/4,89approx-1,24.
C3approx4,7775,
SE(C3)=raiztfrac23,904(1^2+(-1)^2)approx3,46,
t3=4,7775/3,46approx1,38.
Todos |ti|<2,18, logo nenhum contraste é significativo a 5%.

Resposta

a) Na ANOVA, Ftrat=8,32>3,26, tratamentos significativos; blocos não significativos.
b) Tukey: só m5 difere de todos; m1,m2,m3,m4 entre si não se diferenciam.
c) Duncan: mesmo agrupamento de Tukey ( m5 vs.\ os demais).
d) Scheffé para C=m1+m2-2m5: hat C=-29,41, limite crítico approx21,62; contraste significativo.
e) Teste t para C1,C2,C3: t1approx0,14, t2approx-1,24, t3approx1,38; nenhum é significativo.

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