Calcular as integrais definidas
integral0^raiz3 raiz1+x^2x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
integral0^raiz3raiz1+x^2x^2,dx,
que diverge em x=0. O conteúdo necessário envolve integração de funções racionais com radical, identificação de antiderivada e teste de convergência de integral imprópria.

Passo 2

Definimos a integral como limite
I=limato0^+integrala^raiz3raiz1+x^2x^2,dx
Para encontrar a antiderivada, note que, se fizermos
f(x)=raiz1+x^2x,
então
f'(x) =l(raiz1+x^2r)'1x+raiz1+x^2l(1xr)' =xraiz1+x^2cdot1x-raiz1+x^2cdot1x^2 =1raiz1+x^2-raiz1+x^2x^2
Rearranjando,
raiz1+x^2x^2 =1raiz1+x^2-f'(x)

Passo 3

Integrando ambos os lados, obtemos
integralraiz1+x^2x^2,dx =integral1raiz1+x^2,dx-integral f'(x),dx =arsinh(x)-f(x)+C,
onde arsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r). Logo uma primitiva é
F(x) =lnl(x+raiz1+x^2r) -raiz1+x^2x

Passo 4

Agora avaliamos o limite
I =limato0^+l[F(raiz3)-F(a)r]
Em x=raiz3 temos raiz1+3=2, então
F(raiz3) =lnl(raiz3+2r)-2raiz3
Já quando ato0^+,
ln(a+raiz1+a^2)to0 e
raiz1+a^2asim1ato+infty,
portanto F(a)to-infty. Assim
I =l[valor finitor] -l(-inftyr) =+infty,
isto é, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente (vai para +infty).

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