Num experimento para determinar a aceleração da gravidade local mediu-se o tempo de queda de uma esfera metálica \Delta \mathrm{h}=0,937 \mathrm{~m}. O tempo médio de queda da esfera nessa altura foi \Delta \mathrm{t}=0,4371 \mathrm{~s}. Com base nessas informações:
a) mostre que \mathrm{g}=2 \Delta \mathrm{~h} / \Delta \mathrm{t}^{2} (dica: parta da equação horária de movimento)
b) calcule a aceleração da gravidade local \mathrm{g}_{\mathrm{m}} e informe o valor com 6 casas após a virgula.
c) para o valor do item anterior, sublinhe o valor de g na casa onde se deve arredondar o valor e posteriormente arredonde para o número correto de algarismos significativos.
d) calcule o erro comparativo levando em conta \mathrm{g}_{\mathrm{R}}=9,78718 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (para todo o valor de erro informe somente duas casas após a virgula).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os dados diretamente do enunciado):
Dados fornecidos:
\Delta h = 0{,}937\\ \mathrm{m}
\Delta t = 0{,}4371\\ \mathrm{s}
Perguntas:
a) Mostrar que \mathrm{g} = \dfrac{2\Delta h}{\Delta t^{2}}.
b) Calcular numericamente a aceleração da gravidade local \mathrm{g}_{\mathrm{m}} e informar o valor com 6 casas após a vírgula.
c) Indicar (sublinhar) a casa onde deve ser feito o arredondamento e depois arredondar o valor ao número correto de algarismos significativos.
d) Calcular o erro comparativo em relação a \mathrm{g}_{\mathrm{R}} = 9{,}78718\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (informar o erro com duas casas após a vírgula).
Passo 2
Derivação da fórmula pedida (a). Vamos partir da equação horária do movimento retilíneo uniformemente acelerado na queda livre, tomando referência vertical positiva para cima e considerando que a esfera é largada do repouso:
A equação horária para a posição y(t) é
y(t) = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui:
y(t) é a posição em tempo t,
y_0 é a posição inicial,
v_0 é a velocidade inicial,
a é a aceleração (no caso da queda livre a=-g se tomarmos para cima positivo).
No experimento a esfera é largada do repouso, então v_0=0. A variação de altura medida é \Delta h, que corresponde ao deslocamento vertical em módulo entre a posição inicial e a posição final após o tempo \Delta t. Tomando apenas módulos (ou seja, usando g>0 para a intensidade da aceleração), a relação entre deslocamento e tempo fica
\Delta h = \tfrac{1}{2} g \Delta t^{2}.
Isolando g obtemos
g = \frac{2\Delta h}{\Delta t^{2}},
que é exatamente a fórmula pedida.
Observação didática curta: isso vem da ideia física de que, se algo parte do repouso e sofre aceleração constante, a distância percorrida cresce com o quadrado do tempo (proporcional a t^2), e o fator 1/2 aparece na integração da aceleração.
Passo 3
Cálculo numérico de \mathrm{g}_{\mathrm{m}} com os dados fornecidos (item b), mostrando todas as contas:
Primeiro calculemos \Delta t^{2}:
\Delta t^{2} = (0{,}4371)^{2}.
Fazendo a multiplicação:
(0{,}4371)^{2} = 0{,}19105641.
Agora calculemos 2\Delta h:
2\Delta h = 2\times 0{,}937 = 1{,}874.
Aplicando a fórmula
g = \frac{2\Delta h}{\Delta t^{2}} = \frac{1{,}874}{0{,}19105641}.
Dividindo com cuidado (mostrando aproximação controlada):
Dica prática sobre as contas: para fazer isso “na prova” sem calculadora, calcule primeiro \Delta t^2 aproximando com cuidado (operações de multiplicação de decimais) e depois faça a divisão mantendo casas extras para não perder precisão; depois arredonde ao final.
Passo 4
Determinar a casa onde se deve arredondar e arredondar adequadamente (item c).
Regra de algarismos significativos (prática): em operações de multiplicação/divisão, o resultado deve ser reportado com o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos. Aqui:
\Delta h = 0{,}937 tem 3 algarismos significativos.
\Delta t = 0{,}4371 tem 4 algarismos significativos.
Logo o resultado g deve ser reportado com 3 algarismos significativos.
Identificação da casa a ser arredondada:
O valor calculado (com muitas casas) é 9{,}808621443. Contando 3 algarismos significativos a partir do primeiro dígito não nulo: 9 (1.º), 8 (2.º), 0 (3.º). Portanto a casa em que devemos arredondar é a das centésimas (o dígito 0 em 9{,}808621).
Em notação destacada (sublinhei o dígito correspondente dentro do número): \,9{,}8\underline{0}8621.
Agora arredondando para 3 algarismos significativos:
O terceiro algarismo significativo é o 0 nas centésimas; o dígito seguinte (milésimas) é 8, que obliga a arredondar o 0 para 1.
Portanto o valor arredondado com 3 algarismos significativos é
g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Passo 5
Cálculo do erro comparativo (item d). Vamos usar o valor do item (b) com 6 casas após a vírgula, isto é \mathrm{g}_{\mathrm{m}} = 9{,}808621\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, e o valor de referência \mathrm{g}_{\mathrm{R}} = 9{,}78718\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
(O enunciado pede que o erro seja informado com duas casas após a vírgula; portanto apresentamos 0{,}22\%.)
Força aí — já tem a fórmula, o número com 6 casas, o arredondamento correto e o erro comparativo. Você já venceu boa parte do desespero!
Resposta
a) \displaystyle \mathrm{g}=\frac{2\Delta h}{\Delta t^{2}}
b) \mathrm{g}_{\mathrm{m}}=9{,}808621\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
c) Casa para arredondar: centésimas (dígito sublinhado em \,9{,}8\underline{0}8621); arredondado com 3 algarismos significativos: 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}