(Movimento em 1D - Queda livre) Uma bola é abandonada do topo de um edifício de 80 metros de altura. (a) Quanto tempo a bola gasta até atingir o solo? Com que velocidade a bola atinge o solo? (c) Qual a altur da bola, 2 segundos após ter sido abandonada?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Dados fornecidos:
    • Altura inicial da bola: \,h_0=80\\ \text{m}.
    • A bola é abandonada (ou seja, velocidade inicial \,v_0=0\\ \text{m/s}).
    • A aceleração da gravidade: vou usar \,g=9,8\\ \text{m/s}^2 (valor padrão).
  • Perguntas:
    (a) Quanto tempo a bola gasta até atingir o solo?
    (b) Com que velocidade a bola atinge o solo?
    (c) Qual a altura da bola \,2\\ \text{s} após ter sido abandonada?

Passo 2

Escolha de convenções e a equação que vamos usar.
  • Vou medir a altura acima do solo, de modo que no instante inicial t=0 temos \,y(0)=h_0=80\\ \text{m} e o solo corresponde a \,y=0.
  • A equação do movimento vertical (movimento uniformemente acelerado) é:
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2.
Expliquei cada símbolo:
  • \,y(t) é a altura acima do solo no tempo \,t.
  • \,y_0 é a altura inicial (aqui \,y_0=h_0).
  • \,v_0 é a velocidade inicial (aqui \,v_0=0).
  • \,a é a aceleração; para queda livre \,a=-g se y é altura (pois a gravidade aponta para baixo).
  • Para a velocidade instantânea usamos:
v(t)=v_0 + a t.
Aqui v(t) é positiva para cima; como a aceleração é para baixo, teremos velocidades negativas quando a bola estiver caindo.

Passo 3

Calcular o tempo até atingir o solo (parte a).
  • A bola atinge o solo quando \,y(t)=0. Substituindo na equação com \,y_0=80, \,v_0=0 e \,a=-g:
0 = 80 + 0\cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2.
  • Isolando t^2:
\tfrac{1}{2} g t^2 = 80 \quad\Rightarrow\quad t^2 = \frac{2\cdot 80}{g} = \frac{160}{g}.
  • Tomando raiz quadrada (só a solução positiva tem sentido físico):
t = \sqrt{\frac{160}{g}}.
  • Substituindo \,g=9,8\\ \text{m/s}^2:
t = \sqrt{\frac{160}{9,8}}.
Agora fazemos a conta: \dfrac{160}{9,8}\approx16,3265, e \sqrt{16,3265}\approx4,04.
Logo
t \approx 4,04\\ \text{s}.
(Dica rápida: se na prova o enunciado permitir usar g=10\\ \text{m/s}^2, obtém-se t=\sqrt{160/10}=\sqrt{16}=4{,}0\\ \text{s}, que é um arredondamento muito próximo.)

Passo 4

Calcular a velocidade ao atingir o solo (parte b).
  • Usamos v(t)=v_0 + a t com \,v_0=0 e a=-g:
v_{\text{impact}} = -g\,t.
  • Substituindo t\approx4,04\\ \text{s} e g=9,8\\ \text{m/s}^2:
v_{\text{impact}} \approx -9,8\cdot 4,04 \approx -39,6\\ \text{m/s}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica direção para baixo. Em termos de magnitude (speed) a bola atinge o solo com velocidade de aproximadamente \,39{,}6\\ \text{m/s} para baixo.
  • Se usar g=10, o resultado arredondado seria \,v\approx -40{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calcular a altura após \,2\\ \text{s} (parte c).
  • Usamos novamente y(t)=y_0+v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2. Substituindo \,y_0=80, \,v_0=0 e t=2\\ \text{s}:
y(2)=80 - \tfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 2^2.
  • Calcule passo a passo: 2^2=4. Então
y(2)=80 - \tfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 4 = 80 - 19,6 = 60,4\\ \text{m}.
  • Interpretação: 2 segundos depois a bola ainda está a 60{,}4\\ \text{m} de altura acima do solo.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo (curtinho): fizemos o problema com as fórmulas básicas do MUV (movimento uniformemente acelerado). A chave é escolher um referencial (aqui altura acima do solo), escrever y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac12 a t^2, e resolver para o instante que faz y=0. Mandou bem por trazer o exercício — com prática isso vira automático. 😃

Resposta

t\approx 4,04\\ \text{s}
v_{\text{impact}}\approx -39,6\\ \text{m/s} (ou seja, 39,6\\ \text{m/s} para baixo)
y(2)=60,4\\ \text{m}

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