1. Em um experimento, dois filtros polarizadores são superpostos de tal forma que as direções de polarização formam um ângulo de 30^{\circ}. Determine a razāo entre a intensidade da luz transmitida e a intensidade da luz incidente se: (a) os filtros são iluminados com luz nāo polarizada. (b) os filtros são iluminados com luz polarizada, onde esta forma um ângulo de 15^{\circ} com o primeiro filtro.

Passo 1

O enunciado dá duas lâminas polarizadoras (filtros) sobrepostas com eixos de polarização formando um ângulo de \,30^\circ. Pede-se a razão entre a intensidade da luz transmitida e a intensidade da luz incidente em dois casos:
(a) luz incidente não polarizada;
(b) luz incidente polarizada, fazendo um ângulo de \,15^\circ com o primeiro filtro.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ângulo entre os eixos dos dois filtros: \,30^\circ.
  • No caso (b), ângulo entre a polarização incidente e o eixo do primeiro filtro: \,15^\circ.
  • Quer‑se a razão \dfrac{I_{\text{transmitida}}}{I_{\text{incidente}}} em cada caso.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (Lei de Malus) — explicação didática e simples.
Quando luz polarizada incide sobre um polarizador, apenas a componente do campo elétrico alinhada com o eixo do polarizador é transmitida. Se a amplitude elétrica incidente é proporcional a E_0 e o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador é \theta, então a componente transmitida da amplitude vale E_0\cos\theta. Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, obtemos a Lei de Malus:
I_{\text{transmitida}} = I_{\text{incidente}} \cos^2\theta.
Aqui:
  • I_{\text{incidente}} é a intensidade antes do polarizador,
  • I_{\text{transmitida}} é a intensidade depois do polarizador,
  • \theta é o ângulo entre a polarização da luz incidente e o eixo do polarizador.
Observação sobre luz não polarizada: luz não polarizada tem todas as direções de polarização igualmente prováveis. O valor médio de \cos^2\theta sobre todas as direções é \tfrac{1}{2}. Logo, um polarizador ideal transmite, em média, metade da intensidade da luz não polarizada:
I_{\text{após 1º polarizador}} = \frac{1}{2} I_{\text{incidente}}.óº
(Explicação rápida do valor \tfrac{1}{2}: \langle\cos^2\theta\rangle = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}.)

Passo 3

Resolução do item (a) — luz não polarizada.
  1. Após o primeiro polarizador, pela razão acima:
I_1 = \frac{1}{2} I_0,
onde I_0 é a intensidade incidente.
  1. A luz que sai do primeiro polarizador está polarizada ao longo do eixo do primeiro. O segundo polarizador está \,30^\circ em relação ao primeiro, então aplicamos a Lei de Malus com \theta=30^\circ:
I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ).
  1. Substituindo I_1:
I_2 = \frac{1}{2} I_0 \cos^2(30^\circ).
  1. Calcular \cos(30^\circ): \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então
\cos^2(30^\circ)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}.
  1. Logo
I_2 = \frac{1}{2} I_0 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} I_0.
Razão pedida para (a):
\frac{I_{\text{transmitida}}}{I_{\text{incidente}}} = \frac{3}{8}=0{,}375.

Passo 4

Resolução do item (b) — luz polarizada inicialmente com ângulo \,15^\circ em relação ao primeiro filtro.
  1. Aplicando a Lei de Malus no primeiro polarizador com \theta=15^\circ:
I_1 = I_0 \cos^2(15^\circ).
Aqui I_1 é a intensidade depois do primeiro polarizador; a luz agora está polarizada ao longo do eixo do primeiro polarizador.
  1. O segundo polarizador está \,30^\circ afastado do primeiro, portanto a luz que chega ao segundo forma \,30^\circ com o seu eixo. Novamente pela Lei de Malus:
I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = I_0 \cos^2(15^\circ)\cos^2(30^\circ).
  1. Simplificar \cos^2(15^\circ) usando a identidade \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\cos^2(15^\circ)=\frac{1+\cos(30^\circ)}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}.
  1. Já temos \cos^2(30^\circ)=\dfrac{3}{4} (calculado no item (a)). Então
\frac{I_2}{I_0}=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3(2+\sqrt{3})}{16}.
  1. Valor numérico aproximado: \dfrac{3(2+\sqrt{3})}{16}\approx 0{,}6998.

Passo 5

Dica prática para a prova (resumindo o método passo a passo):
  • Se a luz é não polarizada, primeiro polarizador dá fator \tfrac{1}{2}.
  • Depois, para cada polarizador adicional, aplique a Lei de Malus I_{\text{out}}=I_{\text{in}}\cos^2(\Delta\theta), onde \Delta\theta é o ângulo entre a polarização da luz que chega e o eixo do polarizador.
  • Se a luz é já polarizada, aplique Malus desde o começo com o ângulo entre a polarização incidente e o primeiro polarizador.

Resposta

(a) \dfrac{3}{8}=0{,}375
(b) \dfrac{3(2+\sqrt{3})}{16}\approx 0{,}6998

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