Mostre que a solução da equação não-homogênea é
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a solução da equação não-homogênea é
onde
.
Informações relevantes (assumidas como parte do enunciado padrão do circuito RC):
com condição inicial usual para carga começando de zero:
Definiremos a constante de tempo
e a carga final
ao longo da resolução.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, dividindo por
:
Explicação didática: aqui temos uma equação do tipo
onde
e
. O objetivo é resolver para
.
Passo 3
Definimos as constantes que facilitam a escrita:
Comentário:
é a constante de tempo do circuito (unidade de tempo) e
é a carga de equilíbrio (quando
espera-se
).
Passo 4
Usamos o método do fator integrante (integrating factor). Para a equação
o fator integrante
é dado por
A razão: multiplicando a EDO por
transformamos o lado esquerdo em derivada total, porque
e
, então o produto reproduz exatamente
.
Passo 5
Multiplicamos a equação por
:
Pelo item anterior, o lado esquerdo é a derivada
Passo 6
Integramos ambos os lados no intervalo de
a
:
Avaliação do lado esquerdo pela propriedade fundamental do cálculo:
Usando
, o lado esquerdo fica simplesmente
.
Passo 7
Calculamos a integral do lado direito explicitamente:
porque
. Agora usamos
para simplificar
. Assim a integral é
Passo 8
Igualando os dois lados temos
Dividindo por
obtemos a solução explícita:
Interpretação breve: quando
o exponencial some e
, que é a carga de equilíbrio.