Mostre que a solução da equação não-homogênea é \mathrm{q}(\mathrm{t})=\mathrm{q}_{0}[1-\exp (-\mathrm{t} / \tau)], onde \mathrm{q}_{0}=C \varepsilon.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a solução da equação não-homogênea é
\mathrm{q}(\mathrm{t})=\mathrm{q}_{0}\bigl[1-\exp(-\mathrm{t}/\tau)\bigr],
onde \mathrm{q}_{0}=C\,\varepsilon.
Informações relevantes (assumidas como parte do enunciado padrão do circuito RC):
R\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{q}}{C}=\varepsilon,
com condição inicial usual para carga começando de zero:
\mathrm{q}(0)=0.
Definiremos a constante de tempo \tau e a carga final \mathrm{q}_{0} ao longo da resolução.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, dividindo por R:
\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\frac{1}{RC}\,\mathrm{q}=\frac{\varepsilon}{R}.
Explicação didática: aqui temos uma equação do tipo
\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+p\,\mathrm{q}=g,
onde p=\dfrac{1}{RC} e g=\dfrac{\varepsilon}{R}. O objetivo é resolver para \mathrm{q}(\mathrm{t}).

Passo 3

Definimos as constantes que facilitam a escrita:
\tau \coloneqq RC,\qquad \mathrm{q}_{0}\coloneqq C\,\varepsilon.
Comentário: \tau é a constante de tempo do circuito (unidade de tempo) e \mathrm{q}_{0} é a carga de equilíbrio (quando \mathrm{t}\to\infty espera-se \mathrm{q}\to C\varepsilon).

Passo 4

Usamos o método do fator integrante (integrating factor). Para a equação
\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\frac{1}{\tau}\,\mathrm{q}=\frac{\varepsilon}{R},
o fator integrante \mu(\mathrm{t}) é dado por
\mu(\mathrm{t})=\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{\tau}\,d\mathrm{t}\Bigr)=\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr).
A razão: multiplicando a EDO por \mu(\mathrm{t}) transformamos o lado esquerdo em derivada total, porque
\frac{d}{d\mathrm{t}}\bigl(\mu(\mathrm{t})\,\mathrm{q}(\mathrm{t})\bigr)=\mu(\mathrm{t})\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\mu'(\mathrm{t})\mathrm{q}(\mathrm{t})
e \mu'(\mathrm{t})=\dfrac{1}{\tau}\mu(\mathrm{t}), então o produto reproduz exatamente \mu(\mathrm{t})\bigl(\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\frac{1}{\tau}\mathrm{q}\bigr).

Passo 5

Multiplicamos a equação por \mu(\mathrm{t})=\exp(\mathrm{t}/\tau):
\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)\frac{d\mathrm{q}}{d\mathrm{t}}+\frac{1}{\tau}\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)\mathrm{q}=\frac{\varepsilon}{R}\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr).
Pelo item anterior, o lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{d\mathrm{t}}\Bigl(\mathrm{q}(\mathrm{t})\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)\Bigr)=\frac{\varepsilon}{R}\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr).

Passo 6

Integramos ambos os lados no intervalo de 0 a \mathrm{t}:
\int_{0}^{\mathrm{t}}\frac{d}{ds}\Bigl(\mathrm{q}(s)\exp\!\Bigl(\frac{s}{\tau}\Bigr)\Bigr)\,ds =\int_{0}^{\mathrm{t}}\frac{\varepsilon}{R}\exp\!\Bigl(\frac{s}{\tau}\Bigr)\,ds.
Avaliação do lado esquerdo pela propriedade fundamental do cálculo:
\mathrm{q}(\mathrm{t})\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)-\mathrm{q}(0)\exp\!\Bigl(0\Bigr).
Usando \mathrm{q}(0)=0, o lado esquerdo fica simplesmente \mathrm{q}(\mathrm{t})\exp(\mathrm{t}/\tau).

Passo 7

Calculamos a integral do lado direito explicitamente:
\int_{0}^{\mathrm{t}}\frac{\varepsilon}{R}\exp\!\Bigl(\frac{s}{\tau}\Bigr)\,ds =\frac{\varepsilon}{R}\,\tau\Bigl[\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)-1\Bigr],
porque \int e^{s/\tau}ds=\tau e^{s/\tau}. Agora usamos \tau=RC para simplificar \dfrac{\varepsilon}{R}\,\tau=\varepsilon C=\mathrm{q}_{0}. Assim a integral é
\mathrm{q}_{0}\Bigl[\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)-1\Bigr].

Passo 8

Igualando os dois lados temos
\mathrm{q}(\mathrm{t})\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)=\mathrm{q}_{0}\Bigl[\exp\!\Bigl(\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)-1\Bigr].
Dividindo por \exp(\mathrm{t}/\tau) obtemos a solução explícita:
\mathrm{q}(\mathrm{t})=\mathrm{q}_{0}\Bigl[1-\exp\!\Bigl(-\frac{\mathrm{t}}{\tau}\Bigr)\Bigr].
Interpretação breve: quando \mathrm{t}\to\infty o exponencial some e \mathrm{q}\to\mathrm{q}_{0}=C\varepsilon, que é a carga de equilíbrio.

Resposta

\mathrm{q}(\mathrm{t})=\mathrm{q}_{0}\bigl[1-\exp(-\mathrm{t}/\tau)\bigr]\n \mathrm{q}_{0}=C\,\varepsilon

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