(3,4 pontos ) Uma parede é composta por duas camadas de condutividades diferentes \mathrm{k}_{1}=0,450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{k}_{2}=0,120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. As espessuras são \mathrm{L}_{1}=8,52 \mathrm{~cm} e \mathrm{L}_{2}=12,21 \mathrm{~cm}. Sabe-se que a temperatura na parte fria (próximo à parede limitante do segundo material) vale \mathrm{T}_{\mathrm{F}}=0,000^{\circ} \mathrm{C} e a do lado aquecido (fonte quente) vale \mathrm{T}_{\mathrm{Q}}=100,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura no ponto de contato entre as duas camadas \left(\mathrm{T}_{0}\right) no regime estacionário?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • k_{1}=0,450\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}
    • k_{2}=0,120\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}
    • L_{1}=8,52\\ \mathrm{cm}
    • L_{2}=12,21\\ \mathrm{cm}
    • T_{\mathrm{Q}}=100,0^\circ\mathrm{C} (lado quente)
    • T_{\mathrm{F}}=0,000^\circ\mathrm{C} (lado frio)
  • O que se pede:
    • A temperatura no ponto de contato entre as duas camadas em regime estacionário, isto é T_{0}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Em regime estacionário, fluxo de calor unidimensional através de camadas em série é constante em todas as camadas (o mesmo fluxo passa por 1 e por 2).
  • A lei de Fourier para condução unidimensional estacionária e material homogêneo diz que o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), que chamarei de \dot{q}'' (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), satisfaz: \dot{q}'' = -k\,\frac{dT}{dx}.Para uma camada de espessura L e condutividade k com variação de temperatura linear em regime estacionário, isso dá a relação simples \Delta T = \dot{q}''\;\frac{L}{k},onde \Delta T é a queda de temperatura através da camada.
  • Definimos a resistência térmica por unidade de área da camada i como r_i=\frac{L_i}{k_i}\qquad\text{(unidade: }\mathrm{m}^2\!/\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}?\text{ mas aqui é só um coeficiente multiplicador)}.éóObservação: r_i tem unidades de \mathrm{m}/(\mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}) que simplifica para \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} quando se multiplica por área; como vamos trabalhar com razões, a área cancela, então usamos r_i=L_i/k_i diretamente.
  • Para a camada 1 (entre T_{\mathrm{Q}} e T_0): T_{\mathrm{Q}}-T_0=\dot{q}''\,r_1.Para a camada 2 (entre T_0 e T_{\mathrm{F}}): T_0-T_{\mathrm{F}}=\dot{q}''\,r_2.
  • Como \dot{q}'' é o mesmo nas duas camadas, podemos eliminar \dot{q}'' tomando a razão das duas equações: \frac{T_{\mathrm{Q}}-T_0}{T_0-T_{\mathrm{F}}}=\frac{r_1}{r_2}.Essa relação é muito útil porque permite encontrar T_0 sem conhecer a área ou o valor do fluxo.

Passo 3

Conversão de unidades (importante: todas as fórmulas usam metros como unidade de comprimento).
  • Converter espessuras para metros: L_1=8,52\\ \mathrm{cm}=0,0852\\ \mathrm{m},\qquad L_2=12,21\\ \mathrm{cm}=0,1221\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as resistências por unidade de área r_1 e r_2.
  • Usando r_i=L_i/k_i: r_1=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0,0852}{0,450}=0,189333\ldots
r_2=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0,1221}{0,120}=1,0175

Passo 5

Montar a equação para T_0 usando a razão das quedas de temperatura.
  • A relação da Passo 2 é \frac{T_{\mathrm{Q}}-T_0}{T_0-T_{\mathrm{F}}}=\frac{r_1}{r_2}.
  • Como T_{\mathrm{F}}=0^\circ\mathrm{C}, T_0-T_{\mathrm{F}}=T_0. Substituindo T_{\mathrm{Q}}=100^\circ\mathrm{C} e os r's: \frac{100-T_0}{T_0}=\frac{r_1}{r_2}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e resolver algebricamente para T_0.
  • Primeiro calcule a razão r_1/r_2: \frac{r_1}{r_2}=\frac{0,189333\ldots}{1,0175}\approx 0,18608\\ (\text{aprox.}).
  • A equação fica \frac{100-T_0}{T_0}=0,18608.
  • Multiplicando ambos os lados por T_0: 100-T_0=0,18608\,T_0.
  • Somando T_0 dos dois lados: 100=(1+0,18608)\,T_0=1,18608\,T_0.
  • Portanto T_0=\frac{100}{1,18608}\approx 84,30^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação rápida (para fixar a intuição):
  • A resistência da segunda camada r_2 é bem maior que r_1, então a maior parte da queda de temperatura ocorre na segunda camada e o ponto de contato T_0 fica mais próximo da fonte quente T_{\mathrm{Q}}. O valor numérico confirma isso: T_0 está perto de 100^\circ\mathrm{C}, especificamente cerca de 84,3^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{0}=84,30^\circ\mathrm{C}

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