pontos
Uma parede é composta por duas camadas de condutividades diferentes
e
. As espessuras são
e
. Sabe-se que a temperatura na parte fria (próximo à parede limitante do segundo material) vale
e a do lado aquecido (fonte quente) vale
. Qual a temperatura no ponto de contato entre as duas camadas
no regime estacionário?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados (peguei estes valores do enunciado):
-
-
-
-
-
(lado quente) -
(lado frio)
-
-
O que se pede:
- A temperatura no ponto de contato entre as duas camadas em regime estacionário, isto é
.
- A temperatura no ponto de contato entre as duas camadas em regime estacionário, isto é
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo, sem pular etapas).
- Em regime estacionário, fluxo de calor unidimensional através de camadas em série é constante em todas as camadas (o mesmo fluxo passa por
e por ). - A lei de Fourier para condução unidimensional estacionária e material homogêneo diz que o fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo), que chamarei de
(unidade ), satisfaz: Para uma camada de espessura e condutividade com variação de temperatura linear em regime estacionário, isso dá a relação simples onde é a queda de temperatura através da camada. - Definimos a resistência térmica por unidade de área da camada
como Observação: tem unidades de que simplifica para quando se multiplica por área; como vamos trabalhar com razões, a área cancela, então usamos diretamente. - Para a camada 1 (entre
e ): Para a camada 2 (entre e ): - Como
é o mesmo nas duas camadas, podemos eliminar tomando a razão das duas equações: Essa relação é muito útil porque permite encontrar sem conhecer a área ou o valor do fluxo.
Passo 3
Conversão de unidades (importante: todas as fórmulas usam metros como unidade de comprimento).
- Converter espessuras para metros:
Passo 4
Calcular as resistências por unidade de área
e
.
- Usando
:
Passo 5
Montar a equação para
usando a razão das quedas de temperatura.
- A relação da Passo 2 é
- Como
, . Substituindo e os 's:
Passo 6
Substituir os valores numéricos e resolver algebricamente para
.
- Primeiro calcule a razão
: - A equação fica
- Multiplicando ambos os lados por
: - Somando
dos dois lados: - Portanto
Passo 7
Interpretação rápida (para fixar a intuição):
- A resistência da segunda camada
é bem maior que , então a maior parte da queda de temperatura ocorre na segunda camada e o ponto de contato fica mais próximo da fonte quente . O valor numérico confirma isso: está perto de , especificamente cerca de .