Um experimento de dupla fenda é realizado no ar (na r=1). A distância entre as fendas é D e a distancia entre o anteparo das fendas e o medidor é R, R gg D. A luz utilizada tem comprimento de onda lambda no ar. Desprezando os efeitos de difração, um experimentador determina a posição dos mínimos de intensidade luminosa. Agora, suponha que o mesmo experimento é realizado em um meio com um indice de refração desconhecido.
(a) Se o l-ésimo mínimo de intensidade luminosa no meio encontra-se na mesma posição que o m-ésimo mínimo no ar, qual é o indice de refração do meio? ( 1,5 p )

Passo 1

Então, o exercício diz que num experimento de dupla fenda (distância entre fendas = D, tela a distância R≫D) iluminado por luz de comprimento de onda λ no ar, a gente anota onde aparecem os mínimos de intensidade. Depois, repete tudo num meio de índice de refração desconhecido n e vê que o l-ésimo mínimo nesse meio cai exatamente na mesma posição do m-ésimo mínimo que aparecia no ar.
Estamos numa matéria de interferência de ondas (superposição de luz), e para resolver precisamos:
  1. Saber a condição de mínimos na dupla fenda: diferença de caminho Δ = (m+½)λ;
  2. Usar aproximação de pequeno ângulo (y/R ≈ sinθ) para ligar a posição y na tela a Δ;
  3. Lembrar que no meio o comprimento de onda muda para λ_med = λ_air / n.

Passo 2

Primeiro achamos a posição y do m-ésimo mínimo no ar.
  • Condição de mínimo: Δ = (m + ½) λ_air.
  • Geometricamente, Δ ≈ D · sinθ e sinθ ≈ y/R.
    Então:
D,ym^(,ar,)R = l(m+tfrac12r),lambda!air Longrightarrow ym^(,ar,) = (m+tfrac12),lambda!air,RD

Passo 3

Agora a mesma ideia no meio com índice n:
  • A onda no meio tem λ_med = λ_air / n.
  • O l-ésimo mínimo obedece Δ = (l + ½) λ_med.
    Logo:
yl^(,meio,) = (l+tfrac12),lambdamed,RD = (l+tfrac12),l(lambdaairnr),RD

Passo 4

Como dizem que esses mínimos caem no mesmo y, igualamos:
yl^(,meio,) = ym^(,ar,) Longrightarrow (l+tfrac12),lambdaairn,RD = (m+tfrac12),lambdaair,RD
Cancelamos l+tfrac12n = m+tfrac12 Longrightarrow n = l+tfrac12m+tfrac12 e sobra

Resposta

boxedn = l+tfrac12m+tfrac12

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