Um experimento de dupla fenda é realizado no ar
. A distância entre as fendas é
e a distancia entre o anteparo das fendas e o medidor é
. A luz utilizada tem comprimento de onda
no ar. Desprezando os efeitos de difração, um experimentador determina a posição dos mínimos de intensidade luminosa. Agora, suponha que o mesmo experimento é realizado em um meio com um indice de refração desconhecido.
(a) Se o
-ésimo mínimo de intensidade luminosa no meio encontra-se na mesma posição que o
-ésimo mínimo no ar, qual é o indice de refração do meio? (
)
(a) Se o
Passo 1
Então, o exercício diz que num experimento de dupla fenda (distância entre fendas = D, tela a distância R≫D) iluminado por luz de comprimento de onda λ no ar, a gente anota onde aparecem os mínimos de intensidade. Depois, repete tudo num meio de índice de refração desconhecido n e vê que o l-ésimo mínimo nesse meio cai exatamente na mesma posição do m-ésimo mínimo que aparecia no ar.
Estamos numa matéria de interferência de ondas (superposição de luz), e para resolver precisamos:
Estamos numa matéria de interferência de ondas (superposição de luz), e para resolver precisamos:
- Saber a condição de mínimos na dupla fenda: diferença de caminho Δ = (m+½)λ;
- Usar aproximação de pequeno ângulo (y/R ≈ sinθ) para ligar a posição y na tela a Δ;
- Lembrar que no meio o comprimento de onda muda para λ_med = λ_air / n.
Passo 2
Primeiro achamos a posição y do m-ésimo mínimo no ar.
- Condição de mínimo: Δ = (m + ½) λ_air.
- Geometricamente, Δ ≈ D · sinθ e sinθ ≈ y/R.
Então:
Passo 3
Agora a mesma ideia no meio com índice n:
- A onda no meio tem λ_med = λ_air / n.
- O l-ésimo mínimo obedece Δ = (l + ½) λ_med.
Logo:
Passo 4
Como dizem que esses mínimos caem no mesmo y, igualamos:
Cancelamos
e sobra