Considere um espelho esférico (concavo ou convexo) de raio
. Suponha que um objeto esteja viajanda com velocidade constante,
, à esquerda do espelho.
© Considere a mesma situação, mas agora para uma superfície refratora esférica (côncava ou convexa). Dessa forma, demonstre que
onde
e
são os indices de refração da superfície refratora e do meio de incidência, respectivamente. (1,5p)
© Considere a mesma situação, mas agora para uma superfície refratora esférica (côncava ou convexa). Dessa forma, demonstre que
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente pegar uma superfície esférica que refrata luz (pode ser côncava ou convexa) e mostrar a relação entre as componentes das velocidades do objeto (antes da refração) e da imagem (depois da refração), que é
Isso faz parte de Óptica Geométrica, mais precisamente do estudo de superfícies refratoras esféricas em aproximação paraxial. A gente vai precisar de duas coisas:
- A fórmula de Gauss para uma superfície refratora esférica,
- A definição de ampliação lateral nessa mesma superfície.
Aí, basta derivar em função do tempo pra ligar velocidades a distâncias que mudam.
Passo 2
Primeiro, lembra da fórmula de Gauss para refração numa superfície esférica (paraxial):
onde
-
é o índice do meio de incidência, -
é o índice do meio refratado, -
é a distância do objeto ao vértice (positiva quando o objeto tá à direita, mas o sinal vai se ajustar na conta), -
é a distância da imagem ao vértice, -
é o raio da superfície.
A ideia é ver comoe mudam no tempo quando o objeto se move e a imagem também se move.
Passo 3
Diferenciando a fórmula de Gauss em relação ao tempo
,
é fixo, então dá:
Aqui
e
. Como o eixo
é o eixo óptico, identificamos
Logo
Passo 4
Agora usamos a ampliação lateral
. Para superfície refratora esférica em paraxial vale
onde
é a altura do objeto e
a altura da imagem. Diferenciando em
,
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Agora é só voltar na relação do Passo 3 e trocar
: