Considere um espelho esférico (concavo ou convexo) de raio R. Suponha que um objeto esteja viajanda com velocidade constante, v=vx x+vy y, à esquerda do espelho.
© Considere a mesma situação, mas agora para uma superfície refratora esférica (côncava ou convexa). Dessa forma, demonstre que
vxux=-n2n1(vyuy)^2
onde n2 e n1 são os indices de refração da superfície refratora e do meio de incidência, respectivamente. (1,5p)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar uma superfície esférica que refrata luz (pode ser côncava ou convexa) e mostrar a relação entre as componentes das velocidades do objeto (antes da refração) e da imagem (depois da refração), que é
vxux=-n2n1l(vyuyr)^2,
Isso faz parte de Óptica Geométrica, mais precisamente do estudo de superfícies refratoras esféricas em aproximação paraxial. A gente vai precisar de duas coisas:
  1. A fórmula de Gauss para uma superfície refratora esférica,
  2. A definição de ampliação lateral nessa mesma superfície.
    Aí, basta derivar em função do tempo pra ligar velocidades a distâncias que mudam.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula de Gauss para refração numa superfície esférica (paraxial):
n1s ;+;n2s' ;=;n2-n1R,,
onde
  • é o índice do meio de incidência,
  • é o índice do meio refratado,
  • é a distância do objeto ao vértice (positiva quando o objeto tá à direita, mas o sinal vai se ajustar na conta),
  • é a distância da imagem ao vértice,
  • é o raio da superfície.
    A ideia é ver como e mudam no tempo quando o objeto se move e a imagem também se move.

Passo 3

Diferenciando a fórmula de Gauss em relação ao tempo -;n1,dot ss^2 ;-;n2,dot s's'^2 ;=;0 Longrightarrow dot s' ;=;-,n1n2;s'^2s^2;dot s , dot s = ux , dot s' = vx é fixo, então dá:
vxux =;-,n1n2;s'^2s^2,
Aqui e . Como o eixo é o eixo óptico, identificamos
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Passo 4

Agora usamos a ampliação lateral m ;=;y'y ;=;n1,s'n2,s,, . Para superfície refratora esférica em paraxial vale
vyuy =d y'dt,g/d ydt =y'y =n1,s'n2,s Longrightarrow s's =n2n1;vyuy
onde s'^2s^2 =l(n2n1r)^2 l(vyuyr)^2, é a altura do objeto e a altura da imagem. Diferenciando em ,
Elevando ao quadrado:

Passo 5

Agora é só voltar na relação do Passo 3 e trocar vxux =;-,n1n2 ;l(n2n1r)^2 l(vyuyr)^2 =;-,n2n1 l(vyuyr)^2, :

Resposta

boxed vxux =-n2n1l(vyuyr)^2

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