No experimento de Ernest Rutherford particulas positivas eram lançadas em direçăo à uma lámina de ouro e seu comportamento era estudado a fim de entender um pouco mais sobre o modelo atómico. Considere que um próton foi lançado, a partir de uma longa distância, em direçåo ao núcleo de um átomo de ouro ( z=79 ) com velocidade 6,0 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual será a distância mais próxima da superficie do núcleo? Considere que o núcleo permanece em repouso durante o experimento.

Passo 1

O enunciado descreve um próton (carga +e, massa m_p) lançado com velocidade inicial v=6{,}0\times10^{7}\,\mathrm{m/s} em direção a um núcleo de ouro de número atômico Z=79. Queremos a menor distância até a superfície do núcleo, supondo que todo o movimento é radial (colisão frontal) e que o núcleo permanece fixo.
Conteúdo: conservação de energia (cinética transformada em energia potencial elétrica coulombiana) e estimativa de raio nuclear.

Passo 2

Pela conservação de energia, na distância de máximo aproximação r_{\min} a energia cinética inicial do próton transforma-se em energia potencial elétrica:
\frac{1}{2}\,m_p\,v^2 \;=\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Z\,e^2}{r_{\min}}\,,
onde Z=79, e=1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C} e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.

Passo 3

Isolando r_{\min},
r_{\min} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Z\,e^2}{\tfrac12\,m_p\,v^2} = \frac{2}{4\pi\varepsilon_0}\;\frac{Z\,e^2}{m_p\,v^2}\,.

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
m_p = 1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg},\quad v=6{,}0\times10^{7}\,\mathrm{m/s},\quad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.
Calculamos primeiro o numerador:
2\,(8{,}99\times10^9)\,(79)\,(1{,}60\times10^{-19})^2 \approx1{,}82\times10^{-26}\,\mathrm{J\cdot m},
e o denominador:
m_p\,v^2 = (1{,}67\times10^{-27})(6{,}0\times10^{7})^2 \approx6{,}01\times10^{-12}\,\mathrm{J}.
Logo
r_{\min} \approx \frac{1{,}82\times10^{-26}}{6{,}01\times10^{-12}} =3{,}03\times10^{-15}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Estimamos o raio do núcleo de ouro pela fórmula empírica
R_{\mathrm{núcleo}} =R_0\,A^{1/3},\quad R_0\approx1{,}2\times10^{-15}\,\mathrm{m},\quad A\approx197,ú
portanto
R_{\mathrm{núcleo}} \approx1{,}2\times10^{-15}\times197^{1/3} \approx1{,}2\times10^{-15}\times5{,}85 \approx7{,}0\times10^{-15}\,\mathrm{m}.ú

Passo 6

A menor distância do próton até a superfície do núcleo é
d = r_{\min}-R_{\mathrm{núcleo}} \approx3{,}0\times10^{-15}-7{,}0\times10^{-15} =-4{,}0\times10^{-15}\,\mathrm{m}.ú
Como d<0, significa que o próton ultrapassa o raio nuclear e atinge a superfície. Logo, a menor distância até a superfície é zero.

Resposta

A menor distância até a superfície do núcleo é 0 (o próton colide com a superfície).

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