Se f(x)=\llbracket x \rrbracket+\llbracket-x \rrbracket, mostre que existe \lim _{x \rightarrow-2} f(x), mas que não é igual a f(2).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\llbracket x\rrbracket+\llbracket -x\rrbracket
e pede para mostrar que \displaystyle\lim_{x\to -2}f(x) existe, mas que esse valor não coincide com f(2). Vamos usar a propriedade da função parte inteira de que, para todo x\notin\mathbb{Z},
\llbracket -x\rrbracket = -\,\llbracket x\rrbracket -1.

Passo 2

Se x está próximo de -2 mas x\neq -2, então x\notin\mathbb{Z}. Para tais x temos
\llbracket x\rrbracket+\llbracket -x\rrbracket =\llbracket x\rrbracket+\bigl(-\,\llbracket x\rrbracket-1\bigr) =-1.
Logo, para todo x suficientemente perto de -2 (mas x\neq -2), f(x)=-1.

Passo 3

Como f(x)=-1 em todo entorno de -2 (exceto possivelmente em -2 exato), os limites laterais existem e valem
\lim_{x\to -2}f(x)=-1.

Passo 4

Agora calculemos f(2):
f(2)=\llbracket 2\rrbracket+\llbracket -2\rrbracket =2+(-2)=0.
Como -1\neq 0, concluímos que \displaystyle\lim_{x\to -2}f(x) existe mas não é igual a f(2).

Resposta

\lim_{x\to -2}f(x)=-1 \quad\text{e}\quad f(2)=0,
logo são diferentes.

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