Questão 4) Calcule a integral tripla
\iiint_{E} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
Onde E está limitado inferiormente pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e superiormente pela calota superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Pede-se calcular a integral tripla
\iiint_{E} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, dV.
  • A região E é limitada inferiormente pelo cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e superiormente pela calota superior da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • Pergunta implícita: descrever bem a região E para escolher coordenadas e limites adequados e então calcular a integral.

Passo 2

Escolha de coordenadas e definições úteis (aula rápida sobre coordenadas esféricas, porque aqui elas simplificam muito).
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho, \varphi, \theta com as definições padrão:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido a partir do eixo z positivo (colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • A função \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é simplesmente \rho em esféricas, e z=\rho\cos\varphi. Logo o integrando se torna simples em esféricas.

Passo 3

Determinar os limites em \varphi a partir da equação do cone.
  • Escrever o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas:
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi.
  • Como \rho>0 (exceto na origem), divide-se por \rho e obtém-se
\cos\varphi=\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi=1.
  • Daí
\varphi=\frac{\pi}{4}.
  • Interpretação geométrica: o cone forma um ângulo de 45^\circ com o eixo z. A região “acima” do cone (isto é, onde z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}) corresponde a \varphi entre 0 e \pi/4.

Passo 4

Determinar os outros limites para \rho e \theta.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \rho=2.
  • A região E é a parte da bola de raio 2 que fica acima do cone, isto é:
0\le \rho\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
(Observe que para cada direção com \varphi\le\pi/4 a origem \rho=0 pertence à região, por isso o limite inferior em \rho é 0.)

Passo 5

Expressar a integral em coordenadas esféricas.
  • Substituindo z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e usando dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta, o integrando multiplicado por dV fica
z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, dV = (\rho\cos\varphi)(\rho)\,(\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta).
  • Reorganizando os fatores:
(\rho\cos\varphi)(\rho)(\rho^{2}\sin\varphi)=\rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi.
  • Assim a integral torna-se
\iiint_{E} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2} \rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 6

Calcular a integral separando as variáveis (produto de integrais).
  • A integral é produto de três integrais porque o integrando separa:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi \;\cdot\; \int_{0}^{2} \rho^{4}\, d\rho.
Calcule cada uma:
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{2} \rho^{4}\, d\rho = \left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
  1. Integral em \varphi. Uma forma direta é notar que 2\sin\varphi\cos\varphi=\sin(2\varphi), mas uma antiderivada muito simples é usar \frac{d}{d\varphi}(\sin^{2}\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi. Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4} 2\sin\varphi\cos\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\left[\sin^{2}\varphi\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\left(\sin^{2}\frac{\pi}{4}-0\right).
Como \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, tem-se \sin^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}. Logo
\int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Multiplicar os resultados parciais para obter o valor final.
  • Produto:
2\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{5} = 2\pi \cdot \frac{32}{20} = 2\pi \cdot \frac{8}{5} = \frac{16\pi}{5}.
  • Verificação rápida de sinal: a região tem z\ge0 e \rho\ge0, então integrando uma função positiva obtemos resultado positivo, consistente com \frac{16\pi}{5}>0.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{5}

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