Questão 4) Calcule a integral tripla
Onde
está limitado inferiormente pelo cone
e superiormente pela calota superior da esfera
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Pede-se calcular a integral tripla
- A região
é limitada inferiormente pelo cone
e superiormente pela calota superior da esfera
- Pergunta implícita: descrever bem a região
para escolher coordenadas e limites adequados e então calcular a integral.
Passo 2
Escolha de coordenadas e definições úteis (aula rápida sobre coordenadas esféricas, porque aqui elas simplificam muito).
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
, , com as definições padrão:
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo (colatitude) e
é o ângulo azimutal no plano
.
- O elemento de volume em esféricas é
- A função
é simplesmente em esféricas, e . Logo o integrando se torna simples em esféricas.
Passo 3
Determinar os limites em
a partir da equação do cone.
- Escrever o cone
em esféricas:
- Como
(exceto na origem), divide-se por e obtém-se
- Daí
- Interpretação geométrica: o cone forma um ângulo de
com o eixo . A região “acima” do cone (isto é, onde ) corresponde a entre e .
Passo 4
Determinar os outros limites para
e
.
- A esfera
dá . - A região
é a parte da bola de raio que fica acima do cone, isto é:
(Observe que para cada direção com
a origem
pertence à região, por isso o limite inferior em
é
.)
Passo 5
Expressar a integral em coordenadas esféricas.
- Substituindo
e e usando , o integrando multiplicado por fica
- Reorganizando os fatores:
- Assim a integral torna-se
Passo 6
Calcular a integral separando as variáveis (produto de integrais).
- A integral é produto de três integrais porque o integrando separa:
Calcule cada uma:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
. Uma forma direta é notar que , mas uma antiderivada muito simples é usar . Portanto
Como
, tem-se
. Logo
Passo 7
Multiplicar os resultados parciais para obter o valor final.
- Produto:
- Verificação rápida de sinal: a região tem
e , então integrando uma função positiva obtemos resultado positivo, consistente com .