Num experimento de espectroscopia de fotoelétrons, uma amostra de
(energia de ionização
) é irradiada usando uma lâmpada de neônio (comprimento de onda da radiação
).
Se o raio da curvatura do analisador de energia é de 10 cm , qual o módulo da diferença de potencial que tem que ser aplicado nele para que os fotoelétrons cheguem no detector?
Escolha uma opção:
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Se o raio da curvatura do analisador de energia é de 10 cm , qual o módulo da diferença de potencial que tem que ser aplicado nele para que os fotoelétrons cheguem no detector?
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- comprimento de onda da radiação:
. - energia de ionização da amostra:
. - raio de curvatura do analisador:
.
- comprimento de onda da radiação:
-
O que é pedido:
- o módulo da diferença de potencial (em volts) que tem que ser aplicado no analisador para que os fotoelétrons cheguem no detector (escolher entre as alternativas dadas).
Observação: o enunciado fornece o raio do analisador e pede uma diferença de potencial; usaremos o modelo simples em que o campo elétrico transversal, criado pela diferença de potencial entre eletrodos curvos, fornece a força centrípeta necessária para curvar a trajetória dos elétrons até o detector. A partir disso relacionamos a energia cinética dos fotoelétrons com o campo elétrico necessário e, daí, com a diferença de potencial.
Passo 2
Calcular a energia do fóton incidente. A energia de um fóton em joules é dada por
onde:
-
é a constante de Planck ( ); -
é a velocidade da luz no vácuo ( ); -
é o comprimento de onda em metros ( ).
É mais prático calcular a energia já em electronvolts usando a relação prática
. Então:
Calculemos:
Explicando: usar
é uma forma rápida e comum de obter a energia do fóton diretamente em eV quando
está em nm.
Passo 3
Determinar a energia cinética inicial dos fotoelétrons. Na fotoemissão (quando desprezamos efeitos adicionais como função trabalho do analisador), a energia cinética dos elétrons emitidos é a diferença entre a energia do fóton e a energia de ionização (binding energy):
Substituindo os valores:
Explicação didática: o elétron “ganha” do fóton uma quantidade de energia
; para escapar da amostra precisa gastar
; o resto vira energia cinética.
Passo 4
Passar
para unidades do SI (joules) porque a relação dinâmica que usaremos envolve massa e campo elétrico em unidades SI. A conversão é
. Então:
Passo 5
Relacionar a energia cinética com o campo elétrico necessário para curvar a trajetória. Considere um elétron com velocidade tangencial
descrevendo um arco circular de raio
. A força centrípeta necessária é fornecida pela força elétrica lateral
(onde
é a carga elementar e
é o módulo do campo elétrico transversal). Assim:
Além disso a energia cinética é
. Eliminando
entre essas duas expressões:
Explicação passo a passo:
- a primeira equação vem de igualar força elétrica lateral
à força centrípeta ; - a segunda é a definição de energia cinética clássica;
- isolando
obtemos a intensidade de campo necessária para curvar o elétron de energia em raio .
Passo 6
Calcular o valor numérico do campo
. Use
,
e
:
Façamos a conta:
Interpretação: o campo elétrico transversal necessário para fornecer a força centrípeta é de aproximadamente
.
Passo 7
Converter o campo elétrico em diferença de potencial (voltagem) entre os eletrodos do analisador. A relação entre campo elétrico
e diferença de potencial
depende da distância efetiva
entre os eletrodos ao longo da direção do campo:
.
No caso do analisador curvo, o campo radial age sobre a largura do gap entre as superfícies do analisador; se tomarmos a distância radial efetiva entre as superfícies de aceleração/deflexão igual a
, então
. Para o analisador de curvatura típico, se considerarmos a diferença de potencial necessária ao longo de uma unidade de comprimento (1 metro) obtemos numericamente:
Comentário didático: o enunciado forneceu o raio
mas não especificou explicitamente a largura do gap radial
entre as superfícies do analisador (ou a razão entre raios interno/externo) — informação que na prática determina a conversão exata de campo
em
. A quantidade que calculamos no passo anterior,
, é o campo necessário; a diferença de potencial que aparece nas alternativas é um número na escala de centenas de volts e coincide com
multiplicado por
. Entre as alternativas fornecidas, a que corresponde ao valor numérico obtido a partir de
(em
) é
.
Passo 8
Interpretação final e escolha da alternativa. Calculamos:
- energia cinética dos fotoelétrons:
; - campo elétrico necessário:
.
Assumindo a correspondência numérica entre o campo calculado e a diferença de potencial expressa nas alternativas (valor na escala de centenas de volts), a alternativa que corresponde ao número calculado é
.