(ITA) Um projétil lançado obliquamente permanece 4 s no ar. Determine a componente vertical inicial da velocidade.

Passo 1

O enunciado dá uma informação simples e pede outra. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
  • Dado: o projétil permanece 4\\ \mathrm{s} no ar. Ou seja, o tempo total de voo (tempo entre lançamento e o retorno ao mesmo nível vertical) é T=4\\ \mathrm{s}.
  • Pedido: determinar a componente vertical inicial da velocidade, que vou chamar de v_{0y}.
Observações/pressupostos que usamos (comuns nesse tipo de problema):
  • Desprezamos resistência do ar.
  • O movimento é sob aceleração constante devido à gravidade, de módulo g.
  • O projétil retorna ao mesmo nível do qual foi lançado (situação padrão para usar a relação entre tempo de voo e v_{0y}).
  • Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão). Se o exame usar g=10\\ \mathrm{m/s^2}, o procedimento é o mesmo e a resposta numérica muda ligeiramente.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento vertical (referência comum: eixo y positivo para cima):
y(t)=y_0+v_{0y}\,t-\frac{1}{2}g\,t^2.
Explicando cada símbolo:
  • y(t) é a altura no tempo t.
  • y_0 é a altura inicial (no lançamento).
  • v_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial (o que queremos).
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, para baixo).
  • t é o tempo desde o lançamento.

Passo 3

Condição do tempo total de voo: como o projétil volta ao mesmo nível inicial, tem y(T)=y_0 para T=4\\ \mathrm{s}. Substituindo na equação:
y_0 = y_0 + v_{0y}\,T - \frac{1}{2} g\,T^2.
Cancelando y_0 dos dois lados obtemos
v_{0y}\,T - \frac{1}{2}g\,T^2 = 0.
Isolando v_{0y}:
v_{0y} = \frac{1}{2}\,g\,T.
Comentário físico rápido: isso também vem da ideia de que o tempo de subida é t_{\text{subida}}=v_{0y}/g e o tempo total é T=2\,t_{\text{subida}}=2\,v_{0y}/g, rearranjando dá a mesma fórmula.

Passo 4

Agora substituímos T=4\\ \mathrm{s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} na fórmula:
v_{0y}=\frac{1}{2}\cdot 9,8\\ \mathrm{m/s^2}\cdot 4\\ \mathrm{s}.
Calcule passo a passo:
9,8\cdot 4 = 39,2,
\frac{1}{2}\cdot 39,2 = 19,6.
Portanto
v_{0y}=19,6\\ \mathrm{m/s}.
Observação útil: se, por convenção do exercício, usar g=10\\ \mathrm{m/s^2}, obteria v_{0y}=\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\\ \mathrm{m/s}. Mas com g=9,8 a resposta é 19,6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cheque de unidades e interpretação:
  • Unidade: \mathrm{m/s} correta para velocidade.
  • Interpretação: a componente vertical inicial de 19,6\\ \mathrm{m/s} significa que o projétil leva t_{\text{subida}}=v_{0y}/g\approx 2\\ \mathrm{s} para atingir o ponto mais alto; daí o tempo total de voo é 2\cdot 2=4\\ \mathrm{s}, consistente com o enunciado. Força — você chegou lá!

Resposta

19,6\\ \mathrm{m/s}

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