Um experimento de física de altas energias que consiste de um longo tubo cilindríco onde se faz vácuo, com eixo orientado na direção paralela ao plano do chão do laboratório, é capaz de produzir partículas píons em uma das tampas do cilindro com uma velocidade de 95 \% da velocidade da luz no vácuo. Esse experimento possuiu detectores que são capazes de identificar somente elétrons. Sabendo que píons que são produzidos parados em laboratório decaem em elétrons após um intervalo de tempo de 2,6.10^{-8} s, qual deve ser o tamanho mínimo do cilindro do experimento citado para que se possa concluir que foram produzidos píons a partir da detecção dos elétrons? (Resp: 23, 732m) Qual o tamanho desse cilindro no referencial do píon? (Resp: 7,410 \mathrm{~m} ) Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado descreve p íons produzidos em uma das extremidades de um cilindro e lançados com velocidade v=0,95c ao longo do tubo. Esses píons, se estivessem parados no laboratório, teriam vida média própria \tau_0=2,6\times10^{-8}\,\text{s} antes de decair em elétrons. Como o detector só identifica elétrons, precisamos garantir que os píons viajem todo o comprimento do cilindro antes de decair. Para isso usamos Relatividade Restrita:
– No referencial do laboratório aplicamos dilatação de tempo para achar quanto tempo os píons vivem lá.
– Depois usamos L=v\,\tau para achar o comprimento mínimo do cilindro.
– No referencial do píon aplicamos contração de comprimento para achar o tamanho do cilindro visto por ele.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad \beta=\frac{v}{c}=0,95.
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\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0,95^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-0,9025}} =\frac{1}{\sqrt{0,0975}} \approx3,203.

Passo 3

Dilatação de tempo no laboratório:
\tau = \gamma\,\tau_{0} \approx3,203\times2,6\times10^{-8}\,\text{s} \approx8,33\times10^{-8}\,\text{s}.
Comprimento mínimo do cilindro no laboratório:
L = v\,\tau = \beta\,c\,\tau =0,95\times(3,0\times10^{8}\,\text{m/s})\times8,33\times10^{-8}\,\text{s} \approx23,732\,\text{m}.

Passo 4

No referencial do píon há contração de comprimento:
L' = \frac{L}{\gamma} =\frac{23,732\,\text{m}}{3,203} \approx7,410\,\text{m}.

Resposta

O comprimento mínimo do cilindro no laboratório é 23,732 m.
No referencial do píon esse mesmo cilindro mede 7,410 m.

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