Um experimento foi conduzido com o objetivo de determinar a exigência de proteína bruta (PB) em leitoas na fase de terminação. Utilizaram-se 40 leitoas puras da raça Landrace, em um delineamento inteiramente ao acaso com quatro tratamentos ( 0,10,20 e 30 \% de proteína bruta), cinco repetições e dois animais por unidade experimental. Uma das variáveis respostas obtidas nesse experimento foi o índice de conversão alimentar, cujos valores são apresentados abaixo:
Tratamentos
Totais de Tratamentos
0
20,8
10
17,0
20
16,0
30
16,6
Com base nos dados acima, construa a Anova e admita que QM Erro =0,11, responda:
a) Houve diferença significativa entre os tratamentos? Se sim, com qual nível de significância?
b) Qual foi o número total de animais utilizados neste experimento?
c) O que você pode afirmar sobre a precisão desse experimento?
d) Qual o modelo que explica a relação existente entre níveis de proteína bruta e conversão alimentar? E qual o coeficiente de determinação ( \mathrm{R}^{2} )?
e) O modelo matemático permite um ponto de máximo ou de mínimo?
f) Qual é o nível ótimo de proteína bruta? E qual o índice de conversão alimentar relacionado a ele?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Tratamentos (níveis de proteína bruta): x=0\%,\,10\%,\,20\%,\,30\%.
Totais dos tratamentos (peguei estes números da tabela do enunciado):
T_{0}=20,8
T_{10}=17,0
T_{20}=16,0
T_{30}=16,6
Informações do delineamento (do enunciado):
Número de tratamentos t=4.
Replicações por tratamento r=5 (cinco repetições).
Dois animais por unidade experimental (cada unidade experimental contém 2 animais).
Foi fornecido o quadrado médio do erro: \mathrm{QM}_{\text{Erro}}=0,11.
Perguntas a responder:
a) Houve diferença significativa entre tratamentos? Com qual nível de significância?
b) Qual o número total de animais utilizados?
c) O que pode ser dito sobre a precisão do experimento?
d) Qual o modelo que explica a relação entre níveis de PB e conversão alimentar? E qual o coeficiente de determinação \mathrm{R}^2?
e) O modelo permite um ponto de máximo ou mínimo?
f) Qual o nível ótimo de PB? E qual o índice de conversão alimentar relacionado a ele?
Passo 2
Determinar número de unidades experimentais e número total de animais.
Unidades experimentais por tratamento: r=5.
Total de unidades experimentais: N_{\text{unid}}=t\cdot r=4\cdot5=20.
Cada unidade tem 2 animais, logo número total de animais:
Decisão sobre significância (resposta da letra a).
Temos F_{\text{calc}}\approx 9,03 com \text{gl}_1=3 e \text{gl}_2=16.
Valores críticos usuais: \,F_{3,16;0,05}\approx 3,24 e \,F_{3,16;0,01} é menor que 9,03 (portanto F_{\text{calc}}>F_{3,16;0,01}). Assim a estatística calculada é maior que o crítico para \alpha=0,01.
Conclusão: há diferença significativa entre tratamentos; o efeito é significativo ao nível de 1\% (ou seja, p<0,01).
Passo 6
Precisão do experimento (resposta da letra c).
A raiz do quadrado médio do erro é o erro padrão residual:
Interpretação didática e prática: um CV em torno de 9{,}4\% é considerado bom/razoável em experimentos zootécnicos (valores abaixo de 10\% indicam boa precisão relativa). Logo o experimento tem boa precisão.
Passo 7
Ajuste do modelo quadrático (letra d): montar e resolver as equações normais para a regressão quadrática usando as médias dos tratamentos.
Vamos modelar \hat{y}=a + b x + c x^{2}\), onde:
- \(x\) = nível de PB (\(\%\)),
- \(\hat{y}\) = conversão alimentar média por unidade experimental.
- Usamos os 4 pares \((x_i,\bar{y}_i)\):
\((0,\,4,16),\\ (10,\,3,40),\\ (20,\,3,20),\\ (30,\,3,32)\).
- Calcular somas necessárias:
\[\sum x = 0+10+20+30=60,\quad \sum x^{2}=0+100+400+900=1400,
\begin{cases} \sum y = n a + (\sum x)\, b + (\sum x^{2})\, c\\[4pt] \sum x y = (\sum x)\, a + (\sum x^{2})\, b + (\sum x^{3})\, c\\[4pt] \sum x^{2}y = (\sum x^{2})\, a + (\sum x^{3})\, b + (\sum x^{4})\, c \end{cases}
Substituindo os números e resolvendo (passos algébricos detalhados foram feitos e simplificados):
Cálculo do coeficiente de determinação \mathrm{R}^2.
Primeiro calcular soma de quadrados explicada pela regressão (usando que existem r=5 repetições iguais por tratamento):
Prever os valores ajustados nas quatro x_i:\hat{y}_{0}=4,148,\quad \hat{y}_{10}=3,436,\quad \hat{y}_{20}=3,164,\quad \hat{y}_{30}=3,332.
Soma dos quadrados da regressão (considerando r repetições):\text{SQ}_{\text{Reg}}=r\sum_{i=1}^{4}(\hat{y}_i-\bar{y}_{\cdot})^{2} =5\cdot(0,628^{2}+(-0,084)^{2}+(-0,356)^{2}+(-0,188)^{2}) =2,8176.(a diferença \hat{y}_i-\bar{y}_{\cdot} foi calculada com \bar{y}_{\cdot}=3,52).
Soma total de quadrados:\text{SQ}_{\text{Total}}=\text{SQ}_{\text{Trat}}+\text{SQ}_{\text{Erro}}=2,9792+1,76=4,7392.
Coeficiente de determinação:\mathrm{R}^2=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Reg}}}{\text{SQ}_{\text{Total}}}=\dfrac{2,8176}{4,7392}\approx 0,5945\\ (\approx59,45\%).
Interpretação: cerca de 59{,}5\% da variabilidade total da conversão é explicada pelo modelo quadrático dos níveis de PB; o restante é variabilidade experimental (erro e falta de ajuste).
Passo 9
Existência de ponto extremo e cálculo do nível ótimo (letras e e f).
Para a parábola \hat{y}=a+bx+cx^{2}, o coeficiente c=0,0022>0 indica que a parábola abre para cima, portanto há um ponto de mínimo (não máximo).
Valor de \hat{y} no ponto ótimo (índice de conversão associado):
usar fórmula do vértice para o valor mínimo:\hat{y}^{*}=a-\dfrac{b^{2}}{4c} =4,148-\dfrac{(-0,0932)^{2}}{4\cdot 0,0022}\approx 3,160\\ .(ou substituindo x^{*} no modelo chega-se ao mesmo número).
Resposta
a) Sim. F_{\text{calc}}\approx 9,03 com \text{gl}=(3,16); há diferença significativa entre tratamentos ao nível de 1\% (p<0,01).
b) 40 animais.
c) Erro padrão residual \approx 0,3317; coeficiente de variação \text{CV}\approx 9,42\%. Conclusão: boa precisão experimental.
d) Modelo: \displaystyle \hat{y}=4,148 - 0,0932\,x + 0,0022\,x^{2}.\mathrm{R}^{2}\approx 0,5945 (aprox. 59{,}5\%).
e) O modelo apresenta um ponto de mínimo (porque c>0).
f) Nível ótimo de PB \displaystyle x^{*}\approx 21,18\%. Índice de conversão alimentar associado \displaystyle \hat{y}^{*}\approx 3,160.