Um experimento foi conduzido com o objetivo de determinar a exigência de proteína bruta (PB) em leitoas na fase de terminação. Utilizaram-se 40 leitoas puras da raça Landrace, em um delineamento inteiramente ao acaso com quatro tratamentos ( 0,10,20 e 30 \% de proteína bruta), cinco repetições e dois animais por unidade experimental. Uma das variáveis respostas obtidas nesse experimento foi o índice de conversão alimentar, cujos valores são apresentados abaixo:
Tratamentos Totais de Tratamentos
0 20,8
10 17,0
20 16,0
30 16,6
Com base nos dados acima, construa a Anova e admita que QM Erro =0,11, responda:
a) Houve diferença significativa entre os tratamentos? Se sim, com qual nível de significância?
b) Qual foi o número total de animais utilizados neste experimento?
c) O que você pode afirmar sobre a precisão desse experimento?
d) Qual o modelo que explica a relação existente entre níveis de proteína bruta e conversão alimentar? E qual o coeficiente de determinação ( \mathrm{R}^{2} )?
e) O modelo matemático permite um ponto de máximo ou de mínimo?
f) Qual é o nível ótimo de proteína bruta? E qual o índice de conversão alimentar relacionado a ele?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Tratamentos (níveis de proteína bruta): x=0\%,\,10\%,\,20\%,\,30\%.
  • Totais dos tratamentos (peguei estes números da tabela do enunciado):
    • T_{0}=20,8
    • T_{10}=17,0
    • T_{20}=16,0
    • T_{30}=16,6
  • Informações do delineamento (do enunciado):
    • Número de tratamentos t=4.
    • Replicações por tratamento r=5 (cinco repetições).
    • Dois animais por unidade experimental (cada unidade experimental contém 2 animais).
  • Foi fornecido o quadrado médio do erro: \mathrm{QM}_{\text{Erro}}=0,11.
  • Perguntas a responder:
    a) Houve diferença significativa entre tratamentos? Com qual nível de significância?
    b) Qual o número total de animais utilizados?
    c) O que pode ser dito sobre a precisão do experimento?
    d) Qual o modelo que explica a relação entre níveis de PB e conversão alimentar? E qual o coeficiente de determinação \mathrm{R}^2?
    e) O modelo permite um ponto de máximo ou mínimo?
    f) Qual o nível ótimo de PB? E qual o índice de conversão alimentar relacionado a ele?

Passo 2

Determinar número de unidades experimentais e número total de animais.
  • Unidades experimentais por tratamento: r=5.
  • Total de unidades experimentais: N_{\text{unid}}=t\cdot r=4\cdot5=20.
  • Cada unidade tem 2 animais, logo número total de animais:
N_{\text{animais}}=N_{\text{unid}}\cdot 2 = 20\cdot 2 = 40.

Passo 3

Calcular médias por tratamento e média geral (usando os totais fornecidos).
  • Média por tratamento (média por unidade experimental) é \bar{y}_i = T_i / r: \bar{y}_{0}=\dfrac{20,8}{5}=4,16,\quad \bar{y}_{10}=\dfrac{17,0}{5}=3,40,
\bar{y}_{20}=\dfrac{16,0}{5}=3,20,\quad \bar{y}_{30}=\dfrac{16,6}{5}=3,32.
  • Soma total G = \sum T_i = 20,8+17,0+16,0+16,6 = 70,4.
  • Média geral por unidade experimental: \bar{y}_{\cdot}=\dfrac{G}{N_{\text{unid}}}=\dfrac{70,4}{20}=3,52.

Passo 4

Construir a ANOVA: calcular a soma de quadrados dos tratamentos, somas de quadrados do erro (a partir de \mathrm{QM}_{\text{Erro}}) e estatística F.
Fórmula útil (para delineamento com r repetições iguais):
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\sum_{i=1}^{t}\dfrac{T_i^{2}}{r}-\dfrac{G^{2}}{N_{\text{unid}}}.
Calcular cada termo:
\frac{T_{0}^{2}}{r}=\dfrac{20,8^{2}}{5}=\dfrac{432,64}{5}=86,528,
\frac{T_{10}^{2}}{r}=\dfrac{17,0^{2}}{5}=\dfrac{289}{5}=57,8,
\frac{T_{20}^{2}}{r}=\dfrac{16,0^{2}}{5}=\dfrac{256}{5}=51,2,
\frac{T_{30}^{2}}{r}=\dfrac{16,6^{2}}{5}=\dfrac{275,56}{5}=55,112.
Somando:
\sum \dfrac{T_i^{2}}{r}=86,528+57,8+51,2+55,112=250,64.
Termo \dfrac{G^{2}}{N_{\text{unid}}}=\dfrac{70,4^{2}}{20}=\dfrac{4953,216}{20}=247,6608.
Portanto:
\text{SQ}_{\text{Trat}}=250,64-247,6608=2,9792.
Graus de liberdade:
\text{gl}_{\text{Trat}}=t-1=3,\qquad \text{gl}_{\text{Erro}}=N_{\text{unid}}-t=20-4=16.
Quadrado médio do tratamento:
\mathrm{QM}_{\text{Trat}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Trat}}}{\text{gl}_{\text{Trat}}}=\dfrac{2,9792}{3}=0,9930667\\ (\approx0,9931).
Soma de quadrados do erro (usando \mathrm{QM}_{\text{Erro}} dado):
\text{SQ}_{\text{Erro}}=\mathrm{QM}_{\text{Erro}}\cdot \text{gl}_{\text{Erro}}=0,11\cdot16=1,76.
Estatística F:
F=\dfrac{\mathrm{QM}_{\text{Trat}}}{\mathrm{QM}_{\text{Erro}}}=\dfrac{0,9930667}{0,11}\approx 9,03.

Passo 5

Decisão sobre significância (resposta da letra a).
  • Temos F_{\text{calc}}\approx 9,03 com \text{gl}_1=3 e \text{gl}_2=16.
  • Valores críticos usuais: \,F_{3,16;0,05}\approx 3,24 e \,F_{3,16;0,01} é menor que 9,03 (portanto F_{\text{calc}}>F_{3,16;0,01}). Assim a estatística calculada é maior que o crítico para \alpha=0,01.
  • Conclusão: há diferença significativa entre tratamentos; o efeito é significativo ao nível de 1\% (ou seja, p<0,01).

Passo 6

Precisão do experimento (resposta da letra c).
  • A raiz do quadrado médio do erro é o erro padrão residual:
\text{EP}_{\text{res}}=\sqrt{\mathrm{QM}_{\text{Erro}}}=\sqrt{0,11}\approx 0,3317.
  • Coeficiente de variação (CV), usual para avaliar precisão:
\text{CV}=\dfrac{\text{EP}_{\text{res}}}{\bar{y}_{\cdot}}\times 100\%=\dfrac{0,3317}{3,52}\times100\%\approx 9,42\%.
  • Interpretação didática e prática: um CV em torno de 9{,}4\% é considerado bom/razoável em experimentos zootécnicos (valores abaixo de 10\% indicam boa precisão relativa). Logo o experimento tem boa precisão.

Passo 7

Ajuste do modelo quadrático (letra d): montar e resolver as equações normais para a regressão quadrática usando as médias dos tratamentos.
  • Vamos modelar \hat{y}=a + b x + c x^{2}\), onde: - \(x\) = nível de PB (\(\%\)), - \(\hat{y}\) = conversão alimentar média por unidade experimental. - Usamos os 4 pares \((x_i,\bar{y}_i)\): \((0,\,4,16),\\ (10,\,3,40),\\ (20,\,3,20),\\ (30,\,3,32)\). - Calcular somas necessárias: \[\sum x = 0+10+20+30=60,\quad \sum x^{2}=0+100+400+900=1400,
\sum x^{3}=0+1000+8000+27000=36000,\quad \sum x^{4}=0+10000+160000+810000=980000,
\sum y = 4,16+3,40+3,20+3,32=14,08,
\sum x y = 0\cdot4,16+10\cdot3,40+20\cdot3,20+30\cdot3,32 =197,6,
\sum x^{2}y = 0\cdot4,16+100\cdot3,40+400\cdot3,20+900\cdot3,32 =4608.
  • Equações normais (para n=4 pontos):
    \begin{cases} \sum y = n a + (\sum x)\, b + (\sum x^{2})\, c\\[4pt] \sum x y = (\sum x)\, a + (\sum x^{2})\, b + (\sum x^{3})\, c\\[4pt] \sum x^{2}y = (\sum x^{2})\, a + (\sum x^{3})\, b + (\sum x^{4})\, c \end{cases}
    Substituindo os números e resolvendo (passos algébricos detalhados foram feitos e simplificados):
    • Obtém-se c\approx 0,0022\], - \(b\approx -0,0932,
      - a\approx 4,148.
  • Assim o modelo ajustado é:
\boxed{\hat{y}=4,148 - 0,0932\,x + 0,0022\,x^{2}.}
(onde x é dado em \% de proteína bruta).]

Passo 8

Cálculo do coeficiente de determinação \mathrm{R}^2.
  • Primeiro calcular soma de quadrados explicada pela regressão (usando que existem r=5 repetições iguais por tratamento):
    • Prever os valores ajustados nas quatro x_i: \hat{y}_{0}=4,148,\quad \hat{y}_{10}=3,436,\quad \hat{y}_{20}=3,164,\quad \hat{y}_{30}=3,332.
    • Soma dos quadrados da regressão (considerando r repetições): \text{SQ}_{\text{Reg}}=r\sum_{i=1}^{4}(\hat{y}_i-\bar{y}_{\cdot})^{2} =5\cdot(0,628^{2}+(-0,084)^{2}+(-0,356)^{2}+(-0,188)^{2}) =2,8176.(a diferença \hat{y}_i-\bar{y}_{\cdot} foi calculada com \bar{y}_{\cdot}=3,52).
  • Soma total de quadrados: \text{SQ}_{\text{Total}}=\text{SQ}_{\text{Trat}}+\text{SQ}_{\text{Erro}}=2,9792+1,76=4,7392.
  • Coeficiente de determinação: \mathrm{R}^2=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Reg}}}{\text{SQ}_{\text{Total}}}=\dfrac{2,8176}{4,7392}\approx 0,5945\\ (\approx59,45\%).
  • Interpretação: cerca de 59{,}5\% da variabilidade total da conversão é explicada pelo modelo quadrático dos níveis de PB; o restante é variabilidade experimental (erro e falta de ajuste).

Passo 9

Existência de ponto extremo e cálculo do nível ótimo (letras e e f).
  • Para a parábola \hat{y}=a+bx+cx^{2}, o coeficiente c=0,0022>0 indica que a parábola abre para cima, portanto há um ponto de mínimo (não máximo).
  • Coordenada do vértice (nível ótimo) dada por: x^{*}=-\dfrac{b}{2c}=\dfrac{0,0932}{2\cdot 0,0022}\approx 21,18\\ (\%\\ \text{de PB}).
  • Valor de \hat{y} no ponto ótimo (índice de conversão associado):
    usar fórmula do vértice para o valor mínimo: \hat{y}^{*}=a-\dfrac{b^{2}}{4c} =4,148-\dfrac{(-0,0932)^{2}}{4\cdot 0,0022}\approx 3,160\\ .(ou substituindo x^{*} no modelo chega-se ao mesmo número).

Resposta

a) Sim. F_{\text{calc}}\approx 9,03 com \text{gl}=(3,16); há diferença significativa entre tratamentos ao nível de 1\% ( p<0,01).
b) 40 animais.
c) Erro padrão residual \approx 0,3317; coeficiente de variação \text{CV}\approx 9,42\%. Conclusão: boa precisão experimental.
d) Modelo: \displaystyle \hat{y}=4,148 - 0,0932\,x + 0,0022\,x^{2}. \mathrm{R}^{2}\approx 0,5945 (aprox. 59{,}5\%).
e) O modelo apresenta um ponto de mínimo (porque c>0).
f) Nível ótimo de PB \displaystyle x^{*}\approx 21,18\%. Índice de conversão alimentar associado \displaystyle \hat{y}^{*}\approx 3,160.

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