Um experimento teve como objetivo avaliar a influência do tipo de preparo de solo no crescimento de plantas de Eucalyptus grandis. O delineamento utilizado foi inteiramente casualizado, e os tratamentos testados foram: A: espelho com enxada ( 60 cm de diâmetro), B: gradagem na linha, \mathbf{C} : subsolagem na linha de plantio (1 haste), \mathbf{D} : subsolagem na linha de plantio (3 hastes), \mathbf{E} : subsolagem na linha de plantio (1 haste +1 gradagem) e \mathbf{F} : subsolagem na linha de plantio ( 3 hastes +1 gradagem).
Uma das variáveis analisadas nesse experimento ao final do período experimental foi o volume de madeira (em m³/parcela), cujo resumo estatístico e ANOVA com parte dos resultados, são apresentados abaixo:
Tratamentos \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C} \mathbf{D} \mathbf{E} \mathbf{F}
Totais \left(\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right) 23,17 41,78 40,93 45,09 40,40 43,67

\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Tabela 1: Anova para volume de madeira ( \mathrm{m}^{3} / parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.
Table 2: Tabela 2: Anova para volume de madeira ( \mathrm{m}^{3} / parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.
\captionsetup{labelformat=empty}
FV GL SQ QM \mathbf{F}_{\mathbf{c}}
Tratamentos
Erro 12
Total 107,57

Pede-se:

a) Complete a tabela da análise de variância e interprete-a.
b) Uma pessoa que fez a análise desses dados afirmou a precisão foi média, você concorda? Justifique,
c) Caso seja necessário, aplique o teste de Scheffé aos contrastes abaixo, informe quais são significativos e qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s).
\mathbf{Y}{\mathbf{1}}=5 \mathrm{~m}{\mathrm{A}}-\mathrm{m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}
{\mathbf{2}}=4 \mathrm{~m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}
{\mathbf{3}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}+\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{4}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}
\mathbf{Y}
{\mathbf{5}}=\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas claras:
  • (a) Completar a tabela da análise de variância (ANOVA) para o volume de madeira e interpretar os resultados.
  • (b) Dizer se concorda com a afirmação de que a precisão foi “média” e justificar.
  • (c) Se necessário, aplicar o teste de Scheffé para os contrastes \mathbf{Y}_1,\mathbf{Y}_2,\mathbf{Y}_3,\mathbf{Y}_4,\mathbf{Y}_5, indicar quais são significativos e qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s).
Informações fornecidas (pegar estes números do enunciado):
  • Tratamentos: \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}.
  • Totais por tratamento \left(T_i\right):
    • T_A=23,17
    • T_B=41,78
    • T_C=40,93
    • T_D=45,09
    • T_E=40,40
    • T_F=43,67
  • A ANOVA parcial: graus de liberdade do erro \mathrm{GL}_{\text{Erro}}=12 e soma total dos quadrados informada na tabela: \mathrm{SQ}_{\text{Total}}=107,57.
  • Delineamento: inteiramente casualizado (tratamentos independentes). Não foram fornecidos os dados individuais, apenas os totais por tratamento e a soma total dos quadrados.
Observação importante para a resolução: com os \mathrm{GL}_{\text{Erro}}=12 e 6 tratamentos, temos t-1=5 e N-1=(t-1)+\mathrm{GL}_{\text{Erro}}=5+12=17, logo N=18 observações ao todo. Assim, presumimos repetição igual por tratamento r=N/t=18/6=3 repetições por tratamento.

Passo 2

Vamos calcular médias por tratamento, média geral e montar as quantidades básicas que a ANOVA usa.
Fórmulas que vamos usar:
  • média do tratamento i: \displaystyle \bar{y}_{i\cdot}=\dfrac{T_i}{r}, onde T_i é o total do tratamento i e r o número de repetições por tratamento;
  • total global G=\sum_i T_i;
  • média geral \displaystyle \bar{y}_{\cdot\cdot}=\dfrac{G}{N}.
Cálculos:
  • r=3 (conforme argumento do passo 1).
  • G=\sum_i T_i=23,17+41,78+40,93+45,09+40,40+43,67=235,04.
  • N=18, então \displaystyle \bar{y}_{\cdot\cdot}=\dfrac{235,04}{18}=13,057777\ldots (vou escrever arredondando quando conveniente).
  • Médias por tratamento:
    • \displaystyle \bar{y}_{A\cdot}=\dfrac{23,17}{3}=7,723333\ldots
    • \displaystyle \bar{y}_{B\cdot}=\dfrac{41,78}{3}=13,926666\ldots
    • \displaystyle \bar{y}_{C\cdot}=\dfrac{40,93}{3}=13,643333\ldots
    • \displaystyle \bar{y}_{D\cdot}=\dfrac{45,09}{3}=15,030000
    • \displaystyle \bar{y}_{E\cdot}=\dfrac{40,40}{3}=13,466666\ldots
    • \displaystyle \bar{y}_{F\cdot}=\dfrac{43,67}{3}=14,552333\ldots (note: será usado 14,556667 se mantiver mais casas; arredondei para apresentar)
Observação didática rápida: descobrir r a partir de \mathrm{GL}_{\text{Erro}} é um passo prático comum quando lhe dão GLs e números de tratamentos, porque \mathrm{GL}_{\text{Total}}=N-1 e \mathrm{GL}_{\text{Trat}}=t-1. Aqui isso mostrou r=3.

Passo 3

Agora calculamos a soma dos quadrados de tratamentos usando a fórmula em ANOVA para totais:
\mathrm{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{t}T_i^2-\frac{G^2}{N}.
Explicando a fórmula: \sum T_i^2/r mede a variabilidade entre os totais dos tratamentos e \dfrac{G^2}{N} é a correção de ocorrência do quadrado do total; a diferença dá a soma de quadrados entre tratamentos.
Cálculo (mostrando as contas essenciais):
  • \sum_{i} T_i^2 = 23,17^2+41,78^2+40,93^2+45,09^2+40,40^2+43,67^2 \approx 9530,0192.
  • \dfrac{1}{r}\sum T_i^2=\dfrac{9530,0192}{3}=3176,6730667.
  • \dfrac{G^2}{N}=\dfrac{235,04^2}{18}\approx 3069,1000889.
  • Logo
\mathrm{SQ}_{\text{Trat}} \approx 3176,6730667-3069,1000889 \approx 107,5729778.
Arredondando para a mesma precisão do enunciado: \mathrm{SQ}_{\text{Trat}}\approx 107,57.
Didática: essa soma de quadrados entre tratamentos indica quanto da variabilidade total está associada às diferenças entre médias dos tratamentos.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados do erro e completar a tabela.
Fórmula da partição da soma de quadrados:
\mathrm{SQ}_{\text{Total}}=\mathrm{SQ}_{\text{Trat}}+\mathrm{SQ}_{\text{Erro}}.
O enunciado fornece \mathrm{SQ}_{\text{Total}}=107,57. Assim
\mathrm{SQ}_{\text{Erro}}=\mathrm{SQ}_{\text{Total}}-\mathrm{SQ}_{\text{Trat}}\approx 107,57-107,5729778\approx -0,0029778.
Esse número negativo muito pequeno é devido a arredondamentos nos dados publicados (os totais e a soma total). Na prática, interpreta-se que
\mathrm{SQ}_{\text{Erro}}\approx 0{,}00.
Agora os graus de liberdade:
  • \mathrm{GL}_{\text{Trat}}=t-1=6-1=5.
  • \mathrm{GL}_{\text{Erro}}=12 (dado).
  • \mathrm{GL}_{\text{Total}}=17.
Médias dos quadrados:
  • \mathrm{QM}_{\text{Trat}}=\dfrac{\mathrm{SQ}_{\text{Trat}}}{\mathrm{GL}_{\text{Trat}}}\approx\dfrac{107,5729778}{5}\approx 21,51459556.
  • \mathrm{QM}_{\text{Erro}}=\dfrac{\mathrm{SQ}_{\text{Erro}}}{\mathrm{GL}_{\text{Erro}}}\approx 0{,}00.
Estatística-F:
F=\dfrac{\mathrm{QM}_{\text{Trat}}}{\mathrm{QM}_{\text{Erro}}}.
Aqui \mathrm{QM}_{\text{Erro}}\approx 0, portanto F não é numericamente calculável (tenderia a infinito se \mathrm{QM}_{\text{Erro}} fosse exatamente zero). Em termos práticos: não há variabilidade residual mensurável (erro experimental) — toda a variabilidade observada está explicada pelos tratamentos.
Interpretação prática:
  • As diferenças entre médias dos tratamentos explicam praticamente toda a variabilidade dos dados.
  • Não há estimativa positiva da variância residual a partir desses dados; portanto os testes F tradicionais que usam MSE no denominador ficam inviáveis (ou triviais, levando a rejeição sempre se MSE=0).
  • Isso pode indicar um dos cenários: (i) os 3 valores por tratamento foram exatamente iguais (nenhuma variação dentro de cada tratamento); (ii) houve arredondamento/report de médias/totais que eliminou a variação residual; (iii) erro de digitação ou relatório dos dados. Em qualquer caso, é um sinal de alerta.

Passo 5

Vou escrever a ANOVA completada (valores arredondados como no enunciado):
  • Tratamentos: \mathrm{GL}=5, \mathrm{SQ}\approx 107,57, \mathrm{QM}\approx 21,5146, F= não calculável (denominador \approx 0).
  • Erro: \mathrm{GL}=12, \mathrm{SQ}\approx 0,00, \mathrm{QM}\approx 0,00.
  • Total: \mathrm{GL}=17, \mathrm{SQ}=107,57.
Didática sobre interpretação de ANOVA: em ANOVA com variância residual positiva, o teste F compara variabilidade entre médias (MST) com variabilidade dentro dos tratamentos (MSE). Aqui a MSE é (praticamente) zero, então qualquer diferença entre médias aparece como “altamente significativa” — mas isso é enganador se a ausência de MSE for artefato de arredondamento ou erro.

Passo 6

Avaliação da precisão (parte b). Definição e fórmula:
  • Coeficiente de variação (CV) é uma medida comum de precisão em experimentos: \displaystyle \mathrm{CV}=\frac{\sqrt{\mathrm{MSE}}}{\bar{y}_{\cdot\cdot}}\times 100\%.
  • Se \mathrm{MSE}=0 então \mathrm{CV}=0\%, o que significa precisão perfeita (nenhuma variação experimental detectada).
Aplicando aqui:
  • \mathrm{MSE}\approx 0\Rightarrow \mathrm{CV}\approx 0\%. Logo a afirmação de que a precisão foi “média” está incorreta diante desses números — os dados mostram precisão extremamente alta (zero variação residual). Novamente: isso é surpreendente e merece verificação dos dados originais; provavelmente os dados foram arredondados ou houve erro de registro.

Passo 7

Agora vamos aos contrastes (parte c). Primeiro explico o que é um contraste e como o teste de Scheffé funciona:
  • Um contraste linear L=\sum_i c_i \bar{y}_{i\cdot} tem coeficientes c_i com \sum_i c_i=0.
  • A variância do estimador de L é \operatorname{Var}(L)=\mathrm{MSE}\cdot\frac{\sum_i c_i^2}{r}.
  • O teste de Scheffé rejeita H_0:L=0 se
\frac{L^2}{(t-1)\,\mathrm{MSE}\,\dfrac{\sum_i c_i^2}{r}}>F_{t-1,\,N-t;\,\alpha}.
Equivalente: rejeita se |L|>\sqrt{(t-1)F_{t-1,\,N-t;\,\alpha}\,\mathrm{MSE}\,\dfrac{\sum_i c_i^2}{r}}.
  • Observação didática: Scheffé é conservador e usa (t-1) no numerador por ser simultâneo para todos os contrastes.
Importante aqui: para aplicar Scheffé é essencial ter \mathrm{MSE}>0. Se \mathrm{MSE}=0 (ou ~0), o denominador é zero e a estatística torna-se indefinida (ou infinita se L\neq 0). Ou seja, não é numericamente possível fazer o procedimento formal sem uma estimativa de variância residual positiva.

Passo 8

Mesmo assim, calculemos os valores numéricos dos contrastes usando as médias (isso dá a magnitude prática das diferenças). Os contrastes dados:
Escrevendo as médias que vamos usar (arredondadas):
\bar{y}_{A\cdot}=7,7233,\\ \bar{y}_{B\cdot}=13,9267,\\ \bar{y}_{C\cdot}=13,6433,\\ \bar{y}_{D\cdot}=15,0300,\\ \bar{y}_{E\cdot}=13,4667,\\ \bar{y}_{F\cdot}=14,5567.
Calculemos cada \mathbf{Y}_k:
  • \displaystyle \mathbf{Y}_1=5\bar{y}_{A\cdot}-\bar{y}_{B\cdot}-\bar{y}_{C\cdot}-\bar{y}_{D\cdot}-\bar{y}_{E\cdot}-\bar{y}_{F\cdot}
    \mathbf{Y}_1\approx 5(7,7233)-\big(13,9267+13,6433+15,0300+13,4667+14,5567\big) \approx 38,6165-70,6234\approx -32,0069.
  • \displaystyle \mathbf{Y}_2=4\bar{y}_{B\cdot}-\bar{y}_{C\cdot}-\bar{y}_{D\cdot}-\bar{y}_{E\cdot}-\bar{y}_{F\cdot}
    \mathbf{Y}_2\approx 4(13,9267)-\big(13,6433+15,0300+13,4667+14,5567\big) \approx 55,7068-56,6967\approx -0,9899.
  • \displaystyle \mathbf{Y}_3=\bar{y}_{C\cdot}+\bar{y}_{D\cdot}-\bar{y}_{E\cdot}-\bar{y}_{F\cdot} \approx (13,6433+15,0300)-(13,4667+14,5567)\approx 0,65.
  • \displaystyle \mathbf{Y}_4=\bar{y}_{C\cdot}-\bar{y}_{D\cdot}\approx 13,6433-15,0300\approx -1,3867.
  • \displaystyle \mathbf{Y}_5=\bar{y}_{E\cdot}-\bar{y}_{F\cdot}\approx 13,4667-14,5567\approx -1,0900.
Interpretação prática das magnitudes:
  • \mathbf{Y}_1 é de grande magnitude negativa: indica que 5\bar{y}_A é muito menor que a soma das outras médias — em palavras, o tratamento A é bem pior que os demais em termos de volume.
  • \mathbf{Y}_2 é muito pequeno (próximo de zero): indica que, na comparação proposta, B não é muito diferente do grupo \{C,D,E,F\} na combinação dada.
  • \mathbf{Y}_3,\mathbf{Y}_4,\mathbf{Y}_5 têm magnitudes moderadas ( \approx 0,65,\\\ -1,39,\\\ -1,09), indicando diferenças práticas pequenas a moderadas entre aqueles grupos/pareamentos.
Agora sobre o teste de Scheffé formal:
  • Como \mathrm{MSE}\approx 0, a parte do denominador que envolve \mathrm{MSE} anula-se, e não é possível calcular a estatística de teste de forma válida. Numericam. qualquer contraste com valor diferente de zero produziria uma estatística infinita (portanto “significância formal”), mas tal conclusão seria enganosa se a ausência de MSE for resultado de arredondamento ou erro de registro.
  • Portanto: não é correto aplicar o teste de Scheffé aqui sem primeiro verificar/obter uma estimativa correta da variabilidade residual. Precisa-se revisar os dados brutos. Se os dados brutos realmente tiverem zero variação dentro de cada tratamento (todos os três valores iguais por tratamento), então estatisticamente não há como estimar a variância experimental e qualquer diferença entre médias é “determinística” sob os dados observados.
Escolha do(s) melhor(es) tratamento(s) (fato objetivo com base nas médias):
  • A média mais alta é \bar{y}_{D\cdot}=15,0300. Logo, em termos práticos, o melhor tratamento é \mathbf{D} (subsolagem na linha de plantio, 3 hastes).
  • Em seguida vêm \mathbf{F} e \mathbf{B} por ordem de média.

Passo 9

Síntese e recomendações práticas:
  • (a) A tabela ANOVA fica completa com \mathrm{SQ}_{\text{Trat}}\approx 107,57, \mathrm{SQ}_{\text{Erro}}\approx 0,00, \mathrm{QM}_{\text{Trat}}\approx 21,5146, \mathrm{QM}_{\text{Erro}}\approx 0,00. O F formal não pode ser calculado porque \mathrm{QM}_{\text{Erro}} é zero (ou numericamente nulo).
  • (b) Não concordo com “precisão média”: numericamente a precisão aparente é altíssima (CV \approx 0\%). Porém isso é um sinal de alerta: valide os dados originais (possível arredondamento, médias reportadas no lugar de observações, ou repetição idêntica).
  • (c) Não é possível aplicar formalmente o teste de Scheffé porque a MSE é zero; se os dados brutos realmente mostram ausência total de variabilidade dentro dos tratamentos, então as diferenças de médias são determinísticas nos dados e o melhor tratamento por média é \mathbf{D}.

Resposta

(a) Tratamentos: \mathrm{GL}=5, \mathrm{SQ}\approx 107,57, \mathrm{QM}\approx 21,5146, F= não calculável (denominador \approx 0).\nErro: \mathrm{GL}=12, \mathrm{SQ}\approx 0{,}00, \mathrm{QM}\approx 0{,}00.\nTotal: \mathrm{GL}=17, \mathrm{SQ}=107,57.\n\n(b) Não concordo: numericamente a precisão aparente é muito alta (CV \approx 0\%), não “média”. Contudo isso indica provável arredondamento/erro nos dados e recomenda-se checar os dados brutos.\n\n(c) Não é possível aplicar formalmente o teste de Scheffé porque \mathrm{MSE}\approx 0 (nenhuma estimativa de variância residual). Com base nas médias, o melhor tratamento é \mathbf{D} ( \bar{y}_{D\cdot}\approx 15,03); contrastes calculados (valores aproximados): \mathbf{Y}_1\approx -32,01, \mathbf{Y}_2\approx -0,99, \mathbf{Y}_3\approx 0,65, \mathbf{Y}_4\approx -1,39, \mathbf{Y}_5\approx -1,09 — mas a significância formal não pode ser determinada sem uma MSE positiva.

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