Um experimento teve como objetivo avaliar a influência do tipo de preparo de solo no crescimento de plantas de Eucalyptus grandis. O delineamento utilizado foi inteiramente casualizado, e os tratamentos testados foram: A: espelho com enxada ( 60 cm de diâmetro), B: gradagem na linha, \mathbf{C} : subsolagem na linha de plantio (1 haste), \mathbf{D} : subsolagem na linha de plantio (3 hastes), \mathbf{E} : subsolagem na linha de plantio (1 haste +1 gradagem) e \mathbf{F} : subsolagem na linha de plantio ( 3 hastes +1 gradagem).
Uma das variáveis analisadas nesse experimento ao final do período experimental foi o volume de madeira (em m³/parcela), cujo resumo estatístico e ANOVA com parte dos resultados, são apresentados abaixo:
Tratamentos
\mathbf{A}
\mathbf{B}
\mathbf{C}
\mathbf{D}
\mathbf{E}
\mathbf{F}
Totais \left(\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right)
23,17
41,78
40,93
45,09
40,40
43,67
\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Tabela 1: Anova para volume de madeira (
parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.
Table 2: Tabela 2: Anova para volume de madeira (
parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.\captionsetup{labelformat=empty}
FV
GL
SQ
QM
\mathbf{F}_{\mathbf{c}}
Tratamentos
Erro
12
Total
107,57
Pede-se:
a) Complete a tabela da análise de variância e interprete-a.
b) Uma pessoa que fez a análise desses dados afirmou a precisão foi média, você concorda? Justifique,
c) Caso seja necessário, aplique o teste de Scheffé aos contrastes abaixo, informe quais são significativos e qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s).
\mathbf{Y}{\mathbf{1}}=5 \mathrm{~m}{\mathrm{A}}-\mathrm{m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{2}}=4 \mathrm{~m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{3}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}+\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{4}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}
\mathbf{Y}{\mathbf{5}}=\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
| Tratamentos | \mathbf{A} | \mathbf{B} | \mathbf{C} | \mathbf{D} | \mathbf{E} | \mathbf{F} |
| Totais \left(\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right) | 23,17 | 41,78 | 40,93 | 45,09 | 40,40 | 43,67 |
\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Tabela 1: Anova para volume de madeira (
parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.
Table 2: Tabela 2: Anova para volume de madeira (
parcela), segundo o delineamento inteiramente casualizado.
\captionsetup{labelformat=empty}
| FV | GL | SQ | QM | \mathbf{F}_{\mathbf{c}} |
| Tratamentos | ||||
| Erro | 12 | |||
| Total | 107,57 |
b) Uma pessoa que fez a análise desses dados afirmou a precisão foi média, você concorda? Justifique,
c) Caso seja necessário, aplique o teste de Scheffé aos contrastes abaixo, informe quais são significativos e qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s).
\mathbf{Y}{\mathbf{2}}=4 \mathrm{~m}{\mathrm{B}}-\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{3}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}+\mathrm{m}{\mathrm{D}}-\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
\mathbf{Y}{\mathbf{4}}=\mathrm{m}{\mathrm{C}}-\mathrm{m}{\mathrm{D}}
\mathbf{Y}{\mathbf{5}}=\mathrm{m}{\mathrm{E}}-\mathrm{m}{\mathrm{F}}
Passo 1
O enunciado pede 3 coisas claras:
- (a) Completar a tabela da análise de variância (ANOVA) para o volume de madeira e interpretar os resultados.
- (b) Dizer se concorda com a afirmação de que a precisão foi “média” e justificar.
- (c) Se necessário, aplicar o teste de Scheffé para os contrastes
, indicar quais são significativos e qual(is) o(s) melhor(es) tratamento(s).
Informações fornecidas (pegar estes números do enunciado):
- Tratamentos:
. - Totais por tratamento
: -
- A ANOVA parcial: graus de liberdade do erro
e soma total dos quadrados informada na tabela: . - Delineamento: inteiramente casualizado (tratamentos independentes). Não foram fornecidos os dados individuais, apenas os totais por tratamento e a soma total dos quadrados.
Observação importante para a resolução: com os
e 6 tratamentos, temos
e
, logo
observações ao todo. Assim, presumimos repetição igual por tratamento
repetições por tratamento.
Passo 2
Vamos calcular médias por tratamento, média geral e montar as quantidades básicas que a ANOVA usa.
Fórmulas que vamos usar:
- média do tratamento
: , onde é o total do tratamento e o número de repetições por tratamento; - total global
; - média geral
.
Cálculos:
-
(conforme argumento do passo 1). -
-
, então (vou escrever arredondando quando conveniente). - Médias por tratamento:
-
-
-
-
-
-
(note: será usado se mantiver mais casas; arredondei para apresentar)
-
Observação didática rápida: descobrir
a partir de
é um passo prático comum quando lhe dão GLs e números de tratamentos, porque
e
. Aqui isso mostrou
.
Passo 3
Agora calculamos a soma dos quadrados de tratamentos usando a fórmula em ANOVA para totais:
Explicando a fórmula:
mede a variabilidade entre os totais dos tratamentos e
é a correção de ocorrência do quadrado do total; a diferença dá a soma de quadrados entre tratamentos.
Cálculo (mostrando as contas essenciais):
-
-
-
- Logo
Arredondando para a mesma precisão do enunciado:
Didática: essa soma de quadrados entre tratamentos indica quanto da variabilidade total está associada às diferenças entre médias dos tratamentos.
Passo 4
Calcular a soma de quadrados do erro e completar a tabela.
Fórmula da partição da soma de quadrados:
O enunciado fornece
. Assim
Esse número negativo muito pequeno é devido a arredondamentos nos dados publicados (os totais e a soma total). Na prática, interpreta-se que
Agora os graus de liberdade:
-
-
(dado). -
Médias dos quadrados:
Estatística-F:
Aqui
, portanto
não é numericamente calculável (tenderia a infinito se
fosse exatamente zero). Em termos práticos: não há variabilidade residual mensurável (erro experimental) — toda a variabilidade observada está explicada pelos tratamentos.
Interpretação prática:
- As diferenças entre médias dos tratamentos explicam praticamente toda a variabilidade dos dados.
- Não há estimativa positiva da variância residual a partir desses dados; portanto os testes F tradicionais que usam MSE no denominador ficam inviáveis (ou triviais, levando a rejeição sempre se MSE=0).
- Isso pode indicar um dos cenários: (i) os 3 valores por tratamento foram exatamente iguais (nenhuma variação dentro de cada tratamento); (ii) houve arredondamento/report de médias/totais que eliminou a variação residual; (iii) erro de digitação ou relatório dos dados. Em qualquer caso, é um sinal de alerta.
Passo 5
Vou escrever a ANOVA completada (valores arredondados como no enunciado):
- Tratamentos:
, , , não calculável (denominador ). - Erro:
, , . - Total:
, .
Didática sobre interpretação de ANOVA: em ANOVA com variância residual positiva, o teste F compara variabilidade entre médias (MST) com variabilidade dentro dos tratamentos (MSE). Aqui a MSE é (praticamente) zero, então qualquer diferença entre médias aparece como “altamente significativa” — mas isso é enganador se a ausência de MSE for artefato de arredondamento ou erro.
Passo 6
Avaliação da precisão (parte b). Definição e fórmula:
- Coeficiente de variação (CV) é uma medida comum de precisão em experimentos:
. - Se
então , o que significa precisão perfeita (nenhuma variação experimental detectada).
Aplicando aqui:
-
. Logo a afirmação de que a precisão foi “média” está incorreta diante desses números — os dados mostram precisão extremamente alta (zero variação residual). Novamente: isso é surpreendente e merece verificação dos dados originais; provavelmente os dados foram arredondados ou houve erro de registro.
Passo 7
Agora vamos aos contrastes (parte c). Primeiro explico o que é um contraste e como o teste de Scheffé funciona:
- Um contraste linear
tem coeficientes com . - A variância do estimador de
é . - O teste de Scheffé rejeita
se
Equivalente: rejeita se
.
- Observação didática: Scheffé é conservador e usa
no numerador por ser simultâneo para todos os contrastes.
Importante aqui: para aplicar Scheffé é essencial ter
. Se
(ou ~0), o denominador é zero e a estatística torna-se indefinida (ou infinita se
). Ou seja, não é numericamente possível fazer o procedimento formal sem uma estimativa de variância residual positiva.
Passo 8
Mesmo assim, calculemos os valores numéricos dos contrastes usando as médias (isso dá a magnitude prática das diferenças). Os contrastes dados:
Escrevendo as médias que vamos usar (arredondadas):
Calculemos cada
:
Interpretação prática das magnitudes:
-
é de grande magnitude negativa: indica que é muito menor que a soma das outras médias — em palavras, o tratamento A é bem pior que os demais em termos de volume. -
é muito pequeno (próximo de zero): indica que, na comparação proposta, B não é muito diferente do grupo na combinação dada. -
têm magnitudes moderadas ( ), indicando diferenças práticas pequenas a moderadas entre aqueles grupos/pareamentos.
Agora sobre o teste de Scheffé formal:
- Como
, a parte do denominador que envolve anula-se, e não é possível calcular a estatística de teste de forma válida. Numericam. qualquer contraste com valor diferente de zero produziria uma estatística infinita (portanto “significância formal”), mas tal conclusão seria enganosa se a ausência de MSE for resultado de arredondamento ou erro de registro. - Portanto: não é correto aplicar o teste de Scheffé aqui sem primeiro verificar/obter uma estimativa correta da variabilidade residual. Precisa-se revisar os dados brutos. Se os dados brutos realmente tiverem zero variação dentro de cada tratamento (todos os três valores iguais por tratamento), então estatisticamente não há como estimar a variância experimental e qualquer diferença entre médias é “determinística” sob os dados observados.
Escolha do(s) melhor(es) tratamento(s) (fato objetivo com base nas médias):
- A média mais alta é
. Logo, em termos práticos, o melhor tratamento é (subsolagem na linha de plantio, 3 hastes). - Em seguida vêm
e por ordem de média.
Passo 9
Síntese e recomendações práticas:
- (a) A tabela ANOVA fica completa com
, , , . O F formal não pode ser calculado porque é zero (ou numericamente nulo). - (b) Não concordo com “precisão média”: numericamente a precisão aparente é altíssima (CV
). Porém isso é um sinal de alerta: valide os dados originais (possível arredondamento, médias reportadas no lugar de observações, ou repetição idêntica). - (c) Não é possível aplicar formalmente o teste de Scheffé porque a MSE é zero; se os dados brutos realmente mostram ausência total de variabilidade dentro dos tratamentos, então as diferenças de médias são determinísticas nos dados e o melhor tratamento por média é
.
Resposta
(a) Tratamentos:
,
,
,
não calculável (denominador
).\nErro:
,
,
.\nTotal:
,
.\n\n(b) Não concordo: numericamente a precisão aparente é muito alta (CV
), não “média”. Contudo isso indica provável arredondamento/erro nos dados e recomenda-se checar os dados brutos.\n\n(c) Não é possível aplicar formalmente o teste de Scheffé porque
(nenhuma estimativa de variância residual). Com base nas médias, o melhor tratamento é
(
); contrastes calculados (valores aproximados):
,
,
,
,
— mas a significância formal não pode ser determinada sem uma MSE positiva.