O consumo de plantas alimentícias não convencionais (PANC’s) tem crescido substancialmente e muitos estudos estão sendo realizados com o objetivo de investigar o processo germinativo de várias espécies. Um experimento foi realizado com o objetivo de verificar o efeito do tempo de embebição em água de sementes de Talinum triangulare (Jacq.) Willd., conhecida popularmente por Beldoegra-graúda. Considerou-se para tanto os seguintes tempos de embebição 0,12,24,36 e 48 horas. Após, as sementes foram dispostas em caixa de germinação do tipo “Gerbox” sobre duas folhas de papel mata borrão umedecidas com água destilada. Em seguida, as caixas Gerbox foram acondicionadas em câmaras de germinação tipo B.O.D. O experimento foi conduzido em um laboratório de sementes, segundo o delineamento inteiramente casualizado, sendo utilizadas 120 sementes para cada tratamento e 30 para cada unidade experimental. Um dos parâmetros avaliados nesse experimento foi o tempo médio de emergência - TMG (em dias), cujo resumo estatístico e Anova são apresentados abaixo:
Tratamentos (em horas) 0 12 24 36 48
Totais \left(\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right) 76,44 71,48 71,72 77,24 87,92
FV GL SQ QM Fc
Tratamentos
Erro
Total 44,95
Pede-se:
a) Complete e interprete a análise de variância.
b) O emprego do delineamento estatístico foi adequado? Justifique.
c) O que pode ser afirmado sobre a precisão?
d) Caso seja necessário, faça um estudo de regressão e descubra qual o grau do polinômio que representa a relação entre o tempo de embebição das sementes na água e o tempo médio de germinação. Em seguida ajuste o modelo de regressão e informe o grau de ajuste \left(\mathrm{R}^{2}\right). Após o ajuste do modelo informe se o modelo permite um ponto de mínimo ou de máximo, indique o melhor tempo de embebição e estime o tempo médio de germinação das sementes em função dele.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado fornece os tempos de embebição (tratamentos) x em horas: 0,\;12,\;24,\;36,\;48.
  • Para cada tratamento foi usado um total de 120 sementes e cada unidade experimental tem 30 sementes. Portanto o número de unidades experimentais por tratamento é 120/30=4.
  • Os totais fornecidos por tratamento (vou chamá-los de T_i, soma das 4 unidades experimentais do tratamento i) são:
    • T_1=76,44 para x=0,
    • T_2=71,48 para x=12,
    • T_3=71,72 para x=24,
    • T_4=77,24 para x=36,
    • T_5=87,92 para x=48.
  • O enunciado também mostra uma ANOVA parcialmente preenchida e informa que o SQ total (soma de quadrados total) é 44,95 (esse valor aparece na tabela fornecida).
  • Perguntas:
    (a) Completar e interpretar a análise de variância.
    (b) Verificar se o delineamento foi adequado e justificar.
    (c) O que pode ser afirmado sobre a precisão?
    (d) Fazer estudo de regressão: indicar grau do polinômio adequado, ajustar o modelo, informar R^{2}; informar se há mínimo ou máximo, indicar melhor tempo de embebição e estimar o tempo médio de germinação correspondente.

Passo 2

Organizar informação numérica básica e calcular médias por tratamento e total geral (isso será usado na ANOVA e regressão).
  • Número de tratamentos: t=5.
  • Replicações por tratamento: r=4.
  • Número total de unidades experimentais: N=t\cdot r=5\cdot4=20.
  • Graus de liberdade:
    • Total: N-1=20-1=19.
    • Tratamentos: t-1=5-1=4.
    • Erro: N-t=20-5=15.
  • Totais por tratamento (peguei os T_i da tabela do enunciado):
    T_1=76,44,\; T_2=71,48,\; T_3=71,72,\; T_4=77,24,\; T_5=87,92.
  • Soma total:
    T_{..}=\sum_{i=1}^{5}T_i=76,44+71,48+71,72+77,24+87,92=384,80.
  • Médias por tratamento (média das 4 unidades experimentais de cada tratamento):
    \bar{Y}_i=\dfrac{T_i}{r}.
    Calculando:
    \bar{Y}_1=\dfrac{76,44}{4}=19,11,\quad \bar{Y}_2=\dfrac{71,48}{4}=17,87,
\bar{Y}_3=\dfrac{71,72}{4}=17,93,\quad \bar{Y}_4=\dfrac{77,24}{4}=19,31,
\bar{Y}_5=\dfrac{87,92}{4}=21,98.
  • Média geral (grand mean): \bar{Y}_{..}=\dfrac{T_{..}}{N}=\dfrac{384,80}{20}=19,24.

Passo 3

Calcular a soma dos quadrados entre tratamentos (SQTrat), usar a fórmula apropriada para delineamento inteiramente casualizado com r repetições.
Fórmula (explicação didática): a soma de quadrados dos tratamentos mede a variação entre as médias dos tratamentos. Quando se usa os totais T_i (soma das réplicas em cada tratamento) a fórmula é
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{t}T_i^{2}-\frac{T_{..}^{2}}{N},
onde r é repetições por tratamento, T_i é total do tratamento e T_{..} a soma total. A ideia: primeiro soma dos quadrados dos totais corrigida pelo fator 1/r, e subtrai-se o termo de correção pelo total geral para centralizar.
Cálculo (peguei os T_i da tabela):
\sum_{i=1}^{5}T_i^{2}=76,44^{2}+71,48^{2}+71,72^{2}+77,24^{2}+87,92^{2}=29\,792,1664.
Então
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{4}\cdot29\,792,1664-\frac{384,80^{2}}{20}=7\,448,0416-7\,403,552=44,4896.
Observação didática: \text{SQ}_{\text{Trat}} mede quanto as médias dos tratamentos desviam da média geral, em termos de soma de quadrados; quanto maior, maior o efeito dos tratamentos.

Passo 4

Determinar a soma de quadrados do erro (SQErro) e completar a tabela ANOVA.
  • Do enunciado (tabela) aparece \text{SQ}_{\text{Total}}=44,95. Esse é o SQ total para todas as unidades experimentais (corrigido). A relação sempre vale: \text{SQ}_{\text{Total}}=\text{SQ}_{\text{Trat}}+\text{SQ}_{\text{Erro}}.
  • Logo \text{SQ}_{\text{Erro}}=\text{SQ}_{\text{Total}}-\text{SQ}_{\text{Trat}}=44,95-44,4896=0,4604.
Agora calculamos os quadrados médios (QM) e a estatística F.
  • Graus de liberdade já dados: GL_{\text{Trat}}=4, GL_{\text{Erro}}=15.
  • Quadrados médios: \text{QM}_{\text{Trat}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Trat}}}{GL_{\text{Trat}}}=\dfrac{44,4896}{4}=11,1224.
\text{QM}_{\text{Erro}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Erro}}}{GL_{\text{Erro}}}=\dfrac{0,4604}{15}=0,0306933.
  • Estatística de teste: F=\dfrac{\text{QM}_{\text{Trat}}}{\text{QM}_{\text{Erro}}}=\dfrac{11,1224}{0,0306933}\approx362,5.
Construindo a tabela ANOVA (resumidamente, valores numéricos):
  • Tratamentos: GL=4, \text{SQ}=44,4896, \text{QM}=11,1224, F\approx362,5.
  • Erro: GL=15, \text{SQ}=0,4604, \text{QM}=0,0306933.
  • Total: GL=19, \text{SQ}=44,95.

Passo 5

Interpretação estatística do teste F (parte a) e conclusão.
  • Regra: rejeita-se H_0 (todas as médias iguais) se F calculado for maior que F_{tab} em nível escolhido (p.ex. \alpha=0,05). Para \alpha=0,05 e GL_1=4,\;GL_2=15, F_{tab}\approx3,06 (tabela F).
  • Comparando: F_{\text{calc}}\approx362,5\gg3,06. Assim rejeitamos H_0 com folga: há evidência estatística de que o tempo de embebição afeta o tempo médio de emergência (TMG).
  • Interpretação prática: as diferenças observadas entre as médias dos tratamentos são muito maiores do que a variação dentro das réplicas; portanto o efeito do tratamento é significativo.

Passo 6

Avaliação do delineamento experimental (parte b).
  • O delineamento usado foi o delineamento inteiramente casualizado (DIC), com r=4 réplicas por tratamento.
  • Comentário didático e justificativa: o DIC é adequado quando as unidades experimentais são homogêneas ou quando não há fatores de blocagem óbvios. No experimento descrito (caixas Gerbox, condições controladas de câmara B.O.D., igual número de sementes por unidade), é razoável assumir homogeneidade entre as unidades experimentais, então o DIC é adequado.
  • Observação prática: se houvesse fontes óbvias de heterogeneidade (por exemplo, posição nas câmaras que varia sistematicamente), teria sido melhor usar um delineamento com blocos (DB ou DBC). Como a variabilidade residual é pequena (ver passo seguinte), não há indicação de que o delineamento foi inapropriado.

Passo 7

Avaliação da precisão (parte c) — medir precisão por erro quadrático médio e coeficiente de variação.
  • Erro quadrático médio (estimador da variância experimental): \hat{\sigma}^{2}=\text{QM}_{\text{Erro}}=0,0306933.O desvio padrão experimental é \hat{\sigma}=\sqrt{0,0306933}\approx0,1752\\ \text{(dias)}.Isso significa que a variação típica dentro de uma unidade experimental é cerca de 0,175 dias — muito pequena se comparada às médias.
  • Coeficiente de variação (CV), medida relativa de precisão: \text{CV}(\%)=\frac{\hat{\sigma}}{\bar{Y}_{..}}\times100=\frac{0,1752}{19,24}\times100\approx0,91\%.
  • Interpretação: um \text{CV} de aproximadamente 0,9\% indica altíssima precisão no experimento — pouca variação experimental relativa à média. Em muitas áreas agronômicas/biológicas, CV abaixo de 5\% é considerado muito bom; aqui é ainda melhor.

Passo 8

Decidir o grau do polinômio para regressão e justificar (início da parte d).
  • Como temos cinco níveis de tempo, podemos ajustar até um polinômio de grau 4 sem deixar resíduos perfeitamente nulos, mas é prático escolher o menor grau que descreva bem a relação biológica.
  • Observando as médias: 19,11,\;17,87,\;17,93,\;19,31,\;21,98há uma tendência de queda até cerca de 12\!-\!24 h e depois aumento, ou seja, forma em “U” (mínimo entre 12 e 24 h). Isso sugere que um polinômio de grau 2 (quadrático) é apropriado biologicamente e estatisticamente (simples e costuma modelar respostas com mínimo/máximo).
  • Vou ajustar um polinômio de grau 2 (quadrático). Justificativa prática: grau reduzido, interpretações simples (possibilidade de mínimo ou máximo), e dados compatíveis com forma quadrática.

Passo 9

Ajuste do modelo de regressão quadrática — cálculo detalhado e didático.
Estratégia didática: para reduzir erros numéricos, faço um recodificação simétrica dos x. Defino:
z=\frac{x}{12}\quad\text{(uma unidade = 12 horas)},\qquad u=z-2=\frac{x-24}{12}.
Assim os valores de u para os tratamentos x=0,12,24,36,48 são:
u=-2,\;-1,\;0,\;1,\;2.
Coletei as médias por tratamento (peguei essas médias já calculadas):
y_i=\bar{Y}_i=\{19,11;\;17,87;\;17,93;\;19,31;\;21,98\}.
Modelo em u (por ser simétrico facilita contas):
y=A+B\,u+C\,u^{2}.
Montagem das equações normais (por simetria, \sum u=0 e \sum u^{3}=0) leva a:
\sum y=5A+10C,\qquad \sum yu=10B,\qquad \sum yu^{2}=10A+34C.
Calculei as somas (peguei os y_i acima):
\sum y=19,11+17,87+17,93+19,31+21,98=96,20,
\sum yu=(-2)\cdot19,11+(-1)\cdot17,87+0\cdot17,93+1\cdot19,31+2\cdot21,98=7,18,
\sum yu^{2}=4\cdot19,11+1\cdot17,87+0+1\cdot19,31+4\cdot21,98=201,54.
Resolvendo as equações:
5A+10C=96,20,\quad 10B=7,18,\quad 10A+34C=201,54.
Da segunda: B=0,718.
Das outras duas:
  • da primeira: A=19,24-2C.
  • substituindo na terceira: 10(19,24-2C)+34C=201,54 \Rightarrow 192,4+14C=201,54 \Rightarrow 14C=9,14,portanto C=\dfrac{9,14}{14}=0,6524285714.E então A=19,24-2C=19,24-1,3048571428=17,9351428572.
Logo o modelo ajustado em escala u é
\hat{y}=17,9351428572+0,718\,u+0,6524285714\,u^{2}.
Voltando para x (horas), com u=(x-24)/12, expandindo, obtemos um polinômio em x:
\hat{y}=a+b\,x+c\,x^{2},
onde (apresento os coeficientes arredondados):
a\approx19,11014,\qquad b\approx-0,1571667,\qquad c\approx0,004532746.
(Obs.: esses coeficientes foram obtidos ao substituir u=(x-24)/12 e expandir; podem ser usados para avaliar \hat{y} em qualquer x.)

Passo 10

Cálculo do grau de ajuste R^{2} do modelo quadrático (parte d: informar R^{2}).
  • O somatório de quadrados entre tratamentos (já calculado) é \text{SQ}_{\text{Trat}}=44,4896. Esse é o total de variabilidade explicável pelas diferenças entre médias dos tratamentos.
  • A soma de quadrados explicada pelo ajuste quadrático (SSR) é praticamente igual a \text{SQ}_{\text{Trat}} porque o ajuste quadrático descreve muito bem as 5 médias. Calcula-se: \text{SQR}=\text{SQ}_{\text{Trat}}-\text{SQ}_{\text{residual}\_entre\_médias},éonde \text{SQ}_{\text{residual}\_entre\_médias}=r\sum_{i=1}^{5}(\bar{Y}_i-\widehat{Y}_i)^{2}é.
  • Eu calculei os resíduos \bar{Y}_i-\widehat{Y}_i (valores por tratamento) e obtive \sum(\bar{Y}_i-\widehat{Y}_i)^{2}\approx0,000048295. Multiplicando por r=4 \text{SQ}_{\text{residual}\_entre\_médias}\approx0,00019318é.
  • Então \text{SQR}\approx44,4896-0,00019318=44,48940682.
  • O coeficiente de determinação (usando o espaço entre tratamentos) é R^{2}=\dfrac{\text{SQR}}{\text{SQ}_{\text{Trat}}}\approx\dfrac{44,48940682}{44,4896}\approx0,999996.
  • Interpretação: praticamente 100\% da variação entre as médias dos tratamentos é explicada pelo modelo quadrático; isto indica um ajuste excelente.

Passo 11

Determinar se o modelo tem ponto de mínimo ou máximo e calcular o melhor tempo de embebição e o TMG estimado (parte d, continuação).
  • No polinômio em x, \hat{y}=a+b\,x+c\,x^{2}, o coeficiente quadrático c\approx0,004532746 é positivo. Portanto a parábola abre para cima e o modelo apresenta um ponto de mínimo (não máximo).
  • A abscissa do vértice (ponto de extremo) é dada por x^{*}=-\dfrac{b}{2c}.Substituindo os valores: x^{*}=-\dfrac{-0,1571667}{2\cdot0,004532746}\approx\dfrac{0,1571667}{0,009065492}\approx17,333\\ \text{horas}.Assim o melhor tempo de embebição (o que minimiza o TMG segundo o modelo) é aproximadamente \mathbf{17,33} horas.
  • Estimativa do TMG mínimo (avaliando \hat{y} em x^{*}). Usei a forma em u para facilitar: u^{*}=(x^{*}-24)/12\approx-0,5555556. Avaliando: \hat{y}(x^{*})\approx17,9351428572+0,718\cdot(-0,5555556)+0,6524285714\cdot(-0,5555556)^{2}\approx17,738\\ \text{dias}.
  • Conclusão prática: segundo o ajuste quadrático, o tempo médio de emergência mínimo estimado é cerca de \mathbf{17,74} dias (arredondando) quando as sementes são embebidas por aproximadamente \mathbf{17,33} horas. (Valor mais preciso obtido: \hat{y}(17{,}333\\ \text{h})\approx17{,}738 dias.)

Passo 12

Resumo interpretativo final e recomendações práticas rápidas.
  • O teste da ANOVA mostra efeito significativo do tempo de embebição sobre TMG (poupíssima chance de erro tipo I).
  • O delineamento DIC com 4 repetições foi adequado nas condições descritas.
  • A precisão do experimento é muito boa ( \text{CV}\approx0,9\%, \hat{\sigma}\approx0,175 dias).
  • A relação entre tempo de embebição e TMG é bem modelada por um polinômio quadrático; o ajuste tem R^{2}\approx0,999996.
  • O modelo indica um mínimo de TMG em cerca de 17{,}3 horas de embebição, com TMG estimado \approx17{,}74 dias.

Resposta

(a) ANOVA completa: Tratamentos GL=4, \text{SQ}=44,4896, \text{QM}=11,1224, F\approx362,5; Erro GL=15, \text{SQ}=0,4604, \text{QM}=0,0306933; Total GL=19, \text{SQ}=44,95. Conclusão: efeito de tempo de embebição sobre TMG é altamente significativo (rejeita-se H_0).
(b) Sim, o delineamento inteiramente casualizado é adequado nas condições descritas (unidades experimentais homogêneas); se houvesse fonte óbvia de heterogeneidade, bloquear seria preferível.
(c) Precisão muito boa: \hat{\sigma}\approx0,1752 dias e \text{CV}\approx0,91\%.
(d) Modelo quadrático adequado. Ajuste (em x horas): \hat{y}\approx19,11014-0,1571667\,x+0,004532746\,x^{2}, com R^{2}\approx0,999996. A parábola abre para cima (mínimo). Melhor tempo de embebição \approx17,33 horas; TMG estimado nesse ponto \approx17,74 dias.

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