Em um experimento foram obtidos os seguintes dados:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.01 | 1.01 | 1.40 | 3.81 | 4.01 |
(i) Determine a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela, usando o método dos mínimos quadrados.
(ii) Calcule o erro
(ii) Calcule o erro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
, e a tarefa é encontrar a reta que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Depois, vamos calcular o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e o método dos mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é usado para encontrar a linha que melhor “cabe” nos pontos de dados. A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. Ou seja, queremos encontrar
e
na equação da reta
que fazem essa soma ser a menor possível.
Passo 3
Vamos organizar os dados que temos:
Precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a encontrar
e
:
Passo 4
Calculando cada uma dessas somas:
Passo 5
Agora, aplicamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar
e
:
Onde
é o número de pontos, que aqui é 5.
Passo 6
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o erro, que é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (
) e os valores previstos pela nossa reta (
):
Vamos calcular cada diferença:
Passo 9
Agora, elevamos cada diferença ao quadrado e somamos:
Passo 10
Arredondando para quatro casas decimais, o erro é aproximadamente 0.9086.
Resposta
i) A reta que melhor se ajusta aos dados é
ii) O erro
é aproximadamente 0.9086