Em um experimento foram obtidos os seguintes dados:
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.01 1.01 1.40 3.81 4.01
(i) Determine a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela, usando o método dos mínimos quadrados.
(ii) Calcule o erro sumi=1^5 dk^2
R i) varphi(x)=1.08 x-0.1120, i i) 0.9409

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e a tarefa é encontrar a reta que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Depois, vamos calcular o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e o método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é usado para encontrar a linha que melhor “cabe” nos pontos de dados. A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. Ou seja, queremos encontrar e na equação da reta que fazem essa soma ser a menor possível.

Passo 3

Vamos organizar os dados que temos:
c|ccccc x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline f(x) & 0.01 & 1.01 & 1.40 & 3.81 & 4.01
Precisamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a encontrar Sx = sum xi, Sy = sum yi, Sxx = sum xi^2, Sxy = sum xi yi e :

Passo 4

Calculando cada uma dessas somas:
Sx = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Sy = 0.01 + 1.01 + 1.40 + 3.81 + 4.01 = 10.24
Sxx = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30
Sxy = (0 times 0.01) + (1 times 1.01) + (2 times 1.40) + (3 times 3.81) + (4 times 4.01) = 0 + 1.01 + 2.80 + 11.43 + 16.04 = 31.28

Passo 5

Agora, aplicamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar a = n Sxy - Sx Syn Sxx - (Sx)^2 e b = Sy - a Sxn :
Onde é o número de pontos, que aqui é 5.

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
a = 5 times 31.28 - 10 times 10.245 times 30 - 10^2 = 156.4 - 102.4150 - 100 = 5450 = 1.08
b = 10.24 - 1.08 times 105 = 10.24 - 10.85 = -0.565 = -0.112

Passo 7

Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados é:
varphi(x) = 1.08x - 0.112

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro, que é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( sumi=1^5 di^2 = sumi=1^5 (f(xi) - varphi(xi))^2 ) e os valores previstos pela nossa reta ( d1 = 0.01 - (1.08 times 0 - 0.112) = 0.01 - (-0.112) = 0.122 ):
d2 = 1.01 - (1.08 times 1 - 0.112) = 1.01 - 0.968 = 0.042
Vamos calcular cada diferença:
d3 = 1.40 - (1.08 times 2 - 0.112) = 1.40 - 2.048 = -0.648
d4 = 3.81 - (1.08 times 3 - 0.112) = 3.81 - 3.152 = 0.658
d5 = 4.01 - (1.08 times 4 - 0.112) = 4.01 - 4.208 = -0.198

Passo 9

Agora, elevamos cada diferença ao quadrado e somamos:
sum di^2 = (0.122)^2 + (0.042)^2 + (-0.648)^2 + (0.658)^2 + (-0.198)^2 = 0.0149 + 0.0018 + 0.4190 + 0.4337 + 0.0392 approx 0.9086

Passo 10

Arredondando para quatro casas decimais, o erro é aproximadamente 0.9086.

Resposta

i) A reta que melhor se ajusta aos dados é
ii) O erro é aproximadamente 0.9086

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