Um investigador relatou os dados tabulados a seguir para uma experiência para determinar a taxa de crescimento da bactéria k (por día), como uma função da concentração de oxigêneo c(m g / L). Sabe-se que tais dados podem ser modelados pela seguinte equação:
k=kmax c^2cs+c^2
onde cs e kmax são parâmetros. Use uma transformação para linearizar essa equação. A seguir, use regressão linear para para fazer uma estimativa de cs e k max e prever a taxa de crescimento em c=2 m g / L.
c|ccccc c & 0,5 & 0,8 & 1,5 & 2,5 & 4 hline k & 1,1 & 2,4 & 5,3 & 7,6 & 8,9
Dica: Obtenha cs e k max , talque y(c)=c^2 / k=cskmax +c^2kmax .

Passo 1

O enunciado apresenta dados da taxa de crescimento bacteriano k em função da concentração de oxigênio c, usando o modelo k=kmaxc^2cs+c^2. Precisamos estimar os parâmetros cs e kmax por regressão linear após uma transformação, e depois prever k em c=2,mg/L.

Passo 2

Para linearizar o modelo, definimos as variáveis auxiliares
x = c^2,
y = c^2k
Nesse caso, a relação fica
y = cskmax + 1kmax,c^2 = b + m,x,
onde
m=1/kmax e b = cs/kmax.

Passo 3

Calculamos x e y para cada par (c,k):
  • c=0.5: x=0.25, y=0.25/1.1approx0.22727;
  • c=0.8: x=0.64, y=0.64/2.4approx0.26667;
  • c=1.5: x=2.25, y=2.25/5.3approx0.42453;
  • c=2.5: x=6.25, y=6.25/7.6approx0.82237;
  • c=4: x=16, y=16/8.9approx1.79775.

Passo 4

Computamos as somas necessárias para a regressão linear de y sobre x:
sum x = 25.39, sum y = 3.53859, sum x^2 = 300.5971, sum xy = 35.08648
A inclinação e o intercepto são dados por
m = nsum xy - (sum x)(sum y)nsum x^2 - (sum x)^2 = 5cdot35.08648 - 25.39cdot3.538595cdot300.5971 - (25.39)^2 approx0.09978,
b = sum y - msum xn = 3.53859 - 0.09978cdot25.395 approx0.20103

Passo 5

Dos valores de m e b obtemos
kmax = 1mapprox10.02,
cs = b,kmaxapprox0.20103times10.02approx2.01

Passo 6

Para prever a taxa em c=2,mg/L, usamos o modelo original:
k = kmax,c^2cs + c^2 = 10.02times42.01+4 approx6.67

Resposta

Estimou-se kmaxapprox10.02,dia^-1, csapprox2.01,(mg/L)^2 e a taxa prevista em c=2,mg/L é kapprox6.67,dia^-1.

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