Em um experimento em laboratório, o elétron de um átomo de hidrogênio foi excitado até a camada
, no máximo.
(a) Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro quando o átomo excitado retorna aos estados de menor energia?
(b) Qual seria a faixa de comprimento de onda emitida? (Sugestão: Encontre os comprimentos de onda das transições de maior e menor energia. (
).
(a) Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro quando o átomo excitado retorna aos estados de menor energia?
(b) Qual seria a faixa de comprimento de onda emitida? (Sugestão: Encontre os comprimentos de onda das transições de maior e menor energia. (
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
-
O enunciado pede:
(a) Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro quando o átomo excitado retorna aos estados de menor energia.
(b) Qual a faixa de comprimento de onda emitida — ou seja, o menor e o maior comprimento de onda correspondentes, usando como sugestão as transições de maior e menor energia. -
Informações dadas:
- O elétron pode ser excitado até a camada com
(ou seja, os níveis possíveis envolvidos nas emissões são ). - A constante de Rydberg em unidades de frequência é
. - Para converter frequência em comprimento de onda vou usar a velocidade da luz
.
- O elétron pode ser excitado até a camada com
A partir daqui vou calcular primeiro o número de linhas possíveis e depois as transições de maior e menor energia (para obter a faixa de comprimentos de onda).
Passo 2
Contagem do número de linhas espectrais possíveis — ideia e justificativa.
- Cada linha corresponde a uma transição entre dois níveis de energia distintos
(inicial) e (final) com . - Se temos níveis disponíveis
, cada par distinto de níveis com gera uma linha com energia (e frequência) característica. - O número de pares distintos
com é igual ao número de maneiras de escolher 2 níveis distintos dentre 5, ou seja, combinações .
A fórmula de combinações dá:
Portanto existem
linhas espectrais possíveis (cada uma correspondendo a uma transição entre dois níveis distintos entre
e
).
Passo 3
Fórmula para frequência das linhas (Rydberg) e relação com comprimento de onda — definição de variáveis.
- A frequência da radiação emitida numa transição de
para (com ) é dada pela fórmula de Rydberg (em unidades de frequência):
onde
é a frequência do fóton emitido,
é a constante de Rydberg em
,
é o nível inicial e
o nível final.
- O comprimento de onda correspondente
está relacionado à frequência por
onde
é a velocidade da luz.
Vou usar essas fórmulas para achar a transição de maior energia (maior
→ menor
) e a de menor energia (menor
→ maior
).
Passo 4
Determinar a transição de maior energia (maior
, menor
).
- Para níveis até
, a maior diferença em ocorre quando é o menor possível ( ) e é o maior possível ( ). Logo, a maior frequência é para a transição .
Calculemos
:
Substituindo
:
Agora o comprimento de onda mínimo
:
Em unidades mais usuais,
Passo 5
Determinar a transição de menor energia (menor
, maior
).
- Entre todos os pares com
, a menor diferença em costuma ocorrer entre níveis vizinhos com grandes, isto é, entre e (porque quanto mais próximos os níveis, menor a energia do fóton emitido). Portanto a menor frequência vem da transição .
Calculemos
:
Substituindo
:
Agora o comprimento de onda máximo
:
Em unidades mais usuais,
Passo 6
Interpretação física rápida e reforço (pílula didática).
- Resumo físico: quando o elétron cai de
para ele perde muita energia e emite um fóton de alta frequência (pequeno comprimento de onda, aqui cerca de , na região ultravioleta). Quando o elétron faz uma pequena queda , a energia do fóton é pequena (frequência baixa) e o comprimento de onda é longo (aqui cerca de , no infravermelho). - Dica prática para prova: para contar linhas use a fórmula
. Para extremos de energia verifique diretamente qual par de níveis dá a maior e menor diferença em (geralmente dá o maior salto; vizinhos no topo dão o menor salto).
Resposta
(a)
linhas espectrais
(b)