Em um experimento em laboratório, o elétron de um átomo de hidrogênio foi excitado até a camada \operatorname{com} \mathrm{n}=5, no máximo.
(a) Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro quando o átomo excitado retorna aos estados de menor energia?
(b) Qual seria a faixa de comprimento de onda emitida? (Sugestão: Encontre os comprimentos de onda das transições de maior e menor energia. ( \mathrm{R}=3,29 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} ).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O enunciado pede:
    (a) Quantas linhas diferentes podem aparecer no espectro quando o átomo excitado retorna aos estados de menor energia.
    (b) Qual a faixa de comprimento de onda emitida — ou seja, o menor e o maior comprimento de onda correspondentes, usando como sugestão as transições de maior e menor energia.
  • Informações dadas:
    • O elétron pode ser excitado até a camada com n=5 (ou seja, os níveis possíveis envolvidos nas emissões são n=1,2,3,4,5).
    • A constante de Rydberg em unidades de frequência é R=3,29\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
    • Para converter frequência em comprimento de onda vou usar a velocidade da luz c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
A partir daqui vou calcular primeiro o número de linhas possíveis e depois as transições de maior e menor energia (para obter a faixa de comprimentos de onda).

Passo 2

Contagem do número de linhas espectrais possíveis — ideia e justificativa.
  • Cada linha corresponde a uma transição entre dois níveis de energia distintos n_i (inicial) e n_f (final) com n_i>n_f.
  • Se temos níveis disponíveis 1,2,\dots,5, cada par distinto de níveis (n_i,n_f) com n_i>n_f gera uma linha com energia (e frequência) característica.
  • O número de pares distintos (n_i,n_f) com 1\le n_f<n_i\le5 é igual ao número de maneiras de escolher 2 níveis distintos dentre 5, ou seja, combinações C(5,2).
A fórmula de combinações dá:
C(5,2)=\frac{5\cdot4}{2}=10.
Portanto existem 10 linhas espectrais possíveis (cada uma correspondendo a uma transição entre dois níveis distintos entre 1 e 5).

Passo 3

Fórmula para frequência das linhas (Rydberg) e relação com comprimento de onda — definição de variáveis.
  • A frequência da radiação emitida numa transição de n_i para n_f (com n_i>n_f) é dada pela fórmula de Rydberg (em unidades de frequência):
\nu = R\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde \nu é a frequência do fóton emitido, R é a constante de Rydberg em \mathrm{Hz}, n_i é o nível inicial e n_f o nível final.
  • O comprimento de onda correspondente \lambda está relacionado à frequência por
\lambda=\frac{c}{\nu},
onde c é a velocidade da luz.
Vou usar essas fórmulas para achar a transição de maior energia (maior \nu → menor \lambda) e a de menor energia (menor \nu → maior \lambda).

Passo 4

Determinar a transição de maior energia (maior \nu, menor \lambda).
  • Para níveis até n=5, a maior diferença em \left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right) ocorre quando n_f é o menor possível ( n_f=1 ) e n_i é o maior possível ( n_i=5 ). Logo, a maior frequência é para a transição 5\to1.
Calculemos \nu_{\max}:
\nu_{\max}=R\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{5^{2}}\right)=R\left(1-\frac{1}{25}\right)=R\cdot\frac{24}{25}.
Substituindo R=3,29\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}:
\nu_{\max}=3,29\times10^{15}\cdot\frac{24}{25}=3,1584\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Agora o comprimento de onda mínimo \lambda_{\min}:
\lambda_{\min}=\frac{c}{\nu_{\max}}=\frac{3,00\times10^{8}}{3,1584\times10^{15}}=9,495\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais usuais,
\lambda_{\min}=9,495\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=94,95\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Determinar a transição de menor energia (menor \nu, maior \lambda).
  • Entre todos os pares com 1\le n_f<n_i\le5, a menor diferença em \left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right) costuma ocorrer entre níveis vizinhos com n grandes, isto é, entre n_i=5 e n_f=4 (porque quanto mais próximos os níveis, menor a energia do fóton emitido). Portanto a menor frequência vem da transição 5\to4.
Calculemos \nu_{\min}:
\nu_{\min}=R\left(\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{5^{2}}\right)=R\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\right)=R\cdot\frac{9}{400}.
Substituindo R:
\nu_{\min}=3,29\times10^{15}\cdot\frac{9}{400}=7,4025\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
Agora o comprimento de onda máximo \lambda_{\max}:
\lambda_{\max}=\frac{c}{\nu_{\min}}=\frac{3,00\times10^{8}}{7,4025\times10^{13}}=4,053\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais usuais,
\lambda_{\max}=4,053\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=4053\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação física rápida e reforço (pílula didática).
  • Resumo físico: quando o elétron cai de n=5 para n=1 ele perde muita energia e emite um fóton de alta frequência (pequeno comprimento de onda, aqui cerca de 95\\ \mathrm{nm}, na região ultravioleta). Quando o elétron faz uma pequena queda 5\to4, a energia do fóton é pequena (frequência baixa) e o comprimento de onda é longo (aqui cerca de 4053\\ \mathrm{nm}, no infravermelho).
  • Dica prática para prova: para contar linhas use a fórmula n(n-1)/2. Para extremos de energia verifique diretamente qual par de níveis dá a maior e menor diferença em 1/n^{2} (geralmente n_{\max}\to1 dá o maior salto; vizinhos no topo n_{\max}\to n_{\max}-1 dão o menor salto).

Resposta

(a) 10 linhas espectrais
(b) \lambda_{\min}=9,495\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\\ (\approx94,95\\ \mathrm{nm})
\lambda_{\max}=4,053\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\\ (\approx4053\\ \mathrm{nm})

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