Em um experimento de laboratório foi utilizado duas placas paralelas a uma distância de 2 mm e em seguida essas placas foram conectadas a uma tensão de 5000 V . Considerando as placas com 1 \mathrm{~m}^{2} cada, calcule: a) a capacitância deste capacitor; b) a energia elétrica envolvida neste capacitor; c) a densidade superficial de carga em cada placa; d) a carga elétrica em cada placa; e) o campo elétrico produzido. Resp: 4,42 \mathrm{nF} ; 55,31 \mathrm{~mJ} ; 22,1 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} 2 ; 2,5 \mathrm{MV} / \mathrm{m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado está indicado).
Dados fornecidos:
  • distância entre as placas: \,d=2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • tensão aplicada entre as placas: \,V=5000\\ \mathrm{V}.
  • área de cada placa: \,A=1\\ \mathrm{m}^2.
Quantidades a calcular:
a) capacitância C do capacitor;
b) energia elétrica armazenada U;
c) densidade superficial de carga \sigma em cada placa;
d) carga elétrica em cada placa Q;
e) campo elétrico entre as placas E.
Constante que vamos usar (valor físico):
\displaystyle \varepsilon_0 (permitividade do vácuo) = \,8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Capacitância de um capacitor de placas paralelas — fórmula e explicação:
  • Para duas placas paralelas suficientemente grandes e próximas, o campo entre elas é aproximadamente uniforme. A capacitância é dada por
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.
Aqui:
  • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F});
  • \varepsilon_0 é a permitividade do vácuo ( \mathrm{F/m});
  • A é a área de uma placa ( \mathrm{m}^2);
  • d é a separação ( \mathrm{m}).
Substituindo os valores:
C=\frac{8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 1}{2\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.
Calculemos passo a passo:
\frac{8{,}854187817\times10^{-12}}{2\times10^{-3}} =8{,}854187817\times10^{-12}\times\frac{1}{2}\times10^{3} =4{,}4270939085\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma prática para a precisão razoável do enunciado:
C\approx 4{,}42\times10^{-9}\\ \mathrm{F}=4{,}42\\ \mathrm{nF}.

Passo 3

Energia armazenada no capacitor — fórmulas e escolha:
  • Energia elétrica armazenada pode ser escrita de três formas equivalentes:
U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV=\frac{Q^2}{2C}.
Aqui U é em joules ( \mathrm{J}), V em volts e Q em coulombs. Vou usar U=\tfrac{1}{2} C V^2 porque já tenho C e V.
Substituindo:
U=\frac{1}{2}\cdot\bigl(4{,}4270939085\times10^{-9}\bigr)\cdot(5000)^2\\ \mathrm{J}.
Calcule:
(5000)^2=25{,}000{,}000=2{,}5\times10^{7}.
Então
U=\frac{1}{2}\cdot4{,}4270939085\times10^{-9}\cdot2{,}5\times10^{7} =0{,}5\cdot4{,}4270939085\cdot2{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação numérica:
4{,}4270939085\times2{,}5=11{,}06773477125
e multiplicando por 0{,}5 5{,}533867385625. Com o fator 10^{-2} isso é
U=5{,}533867385625\times10^{-2}\\ \mathrm{J}=0{,}05533867385625\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U\approx 0{,}05534\\ \mathrm{J}=55{,}34\\ \mathrm{mJ}.
(Usa-se normalmente duas casas decimais neste contexto: 55{,}31\\ \mathrm{mJ} ou 55{,}34\\ \mathrm{mJ} — ambos dentro da mesma ordem de precisão; usarei 55{,}34\\ \mathrm{mJ}.)

Passo 4

Campo elétrico uniforme entre as placas — fórmula e cálculo:
  • Para placas paralelas com tensão V e separação d, o campo elétrico (aproximadamente uniforme) vale
E=\frac{V}{d}.
Aqui E em \mathrm{V/m} (ou \mathrm{N/C}).
Substituindo:
E=\frac{5000}{2\times10^{-3}}\\ \mathrm{V/m} =5000\times\frac{1}{2}\times10^{3}\\ \mathrm{V/m} =2{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Em unidades práticas:
E=2{,}5\\ \mathrm{MV/m}.

Passo 5

Densidade superficial de carga \sigma — relação com o campo:
  • Para uma superfície carregada produzindo campo uniforme entre placas, vale a relação (lei de Gauss para placas planas)
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
ou seja
\sigma=\varepsilon_0 E.
Aqui \sigma é a carga por unidade de área em \mathrm{C/m}^2.
Substituindo E e \varepsilon_0:
\sigma=8{,}854187817\times10^{-12}\cdot2{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{C/m^2}.
Calcule:
8{,}854187817\times2{,}5=22{,}1354695425
e com as potências:
\sigma=22{,}1354695425\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}=2{,}21354695425\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^2}.
Em microcoulombs por metro quadrado:
\sigma\approx 22{,}14\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}=22{,}14\\ \mu\mathrm{C/m^2}.
Arredondando compatível com os dados: \sigma\approx 22{,}1\\ \mu\mathrm{C/m^2}.

Passo 6

Carga elétrica em cada placa Q:
  • Relação simples: Q=\sigma A.
    Como A=1\\ \mathrm{m^2},
Q=\sigma\cdot 1=\sigma.
Portanto
Q\approx 22{,}14\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=22{,}14\\ \mu\mathrm{C}.
Arredondando de forma consistente:
Q\approx 22{,}1\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 7

Breve verificação de consistência (controle mental):
  • C da ordem de 10^{-9}\\ \mathrm{F} com V=5000\\ \mathrm{V} Q=CV da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{C}, ou seja dezenas de microcoulombs — isso bate com Q\approx22{,}1\\ \mu\mathrm{C}.
  • Energia U=\tfrac{1}{2}CV^2 sendo dezenas de milésimos de joule também é coerente. Tudo consistente.

Resposta

a) C=4{,}42\times10^{-9}\\ \mathrm{F}=4{,}42\\ \mathrm{nF}
b) U=0{,}05534\\ \mathrm{J}=55{,}34\\ \mathrm{mJ}
c) \sigma=22{,}1\\ \mu\mathrm{C/m^2}
d) Q=22{,}1\\ \mu\mathrm{C}
e) E=2{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}=2{,}5\\ \mathrm{MV/m}

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