EXPERIMENTO: PÊNDULO SIMPLES - MHS (18R)
Para o pêndulo simples, podemos chegar na seguinte equação que representa a aceleração da gravidade no local do experimento:
g=4 \pi^{2} \frac{L}{T^{2}}
Onde:
g \rightarrow aceleração da gravidade local,
L \rightarrow comprimento do fio do pêndulo simples,
T \rightarrow período de oscilação do pêndulo simples e
Tabela 1 - variando o comprimento L do pêndulo e obtendo 5 medidas de \Delta t para 10 oscilações.
m_{1}=0,00652(\mathrm{~kg})
L(\mathrm{~m}) \sigma_{\mathrm{tL}}(\mathrm{m}) \Delta t(\mathrm{~s}) para 10 oscilações \bar{T} (s) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}(\mathrm{~s}) \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right)
0,20 8,77 8,49 8,54 8,62 8,50
0,40 11,92 11,86 12,11 12,13 12,22
0,60 14,58 14,84 14,66 14,89 14,78
0,80 17,88 17,65 17,46 17,77 17,82
Tabela 2 - variando o comprimento L do pêndulo e obtendo 5 medidas de \Delta t para 10 oscilações.
m_{2}=0,02234(\mathrm{~kg})
L(\mathrm{~m}) \sigma_{\mathrm{tL}}(\mathrm{m}) \Delta t(\mathrm{~s}) para 10 oscilações \bar{T} (s) \sigma \mathrm{t} \bar{T}(\mathrm{~s}) \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right)
0,20 9,43 9,27 9,68 9,38 9,25
0,40 12,86 12,89 12,71 12,69 12,81
0,60 15,64 15,76 14,92 15,67 15,43
0,80 18,09 18,23 18,09 18,12 18,06
(a) (1R) Apenas através das tabelas 1 e 2, pode-se supor alguma dependência do período em relação às massas? Por quê? R.:
(b.1) (2R) Trace gráficos do quadrado do período pelo comprimento, para cada uma das massas, utilizando uma planilha (ex.: Excel ou planilha do Linux) ou no SciDAVis (anexe os gráficos no final da prova). (OBS.: está sendo fornecido um PDF de papel milimetrado como alternativa de quem não possa fazer o gráfico no SciDAVis ou não tenha acesso uma planilha de dados).
(b.2) (2R) Forneça para cada gráfico obtido uma equação da melhor curva ajustada (anexe os gráficos no final da prova).
(c) (3R) Calcule e apresente o valor de g obtido através de cada gráfico. Encontre o \bar{g} (aceleração da gravidade média dos dois gráficos)
g_{1}= g_{2}= \bar{g}=
(d) (1R) Encontre o erro propagado de g, \sigma_{\text {tg }}, e expresse o resultado:
\bar{g}=\quad \pm \quad \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples em MHS, cuja equação fundamental é
g = 4\pi^{2}\,\frac{L}{T^{2}}\,,
onde L é o comprimento do fio e T o período de oscilação. Nas Tabelas 1 e 2 temos, para duas massas distintas m_{1} e m_{2}, medições de \Delta t para 10 oscilações em quatro valores de L. A tarefa é:
– (a) verificar se T depende da massa;
– (b) plotar T^{2} versus L e ajustar reta nos dois casos;
– (c) obter g de cada ajuste e a média \bar g;
– (d) estimar o erro propagado em \bar g.

Passo 2

(a) A teoria do pêndulo simples diz que
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\,,
não havendo termo com a massa. Nas Tabelas 1 e 2 os valores de \Delta t para m_{1} e m_{2} são muito semelhantes em cada L. Logo, não há dependência observável de T com a massa, conforme a teoria prevê.

Passo 3

Antes de fazer o gráfico, calculamos para cada linha das Tabelas 1 e 2:
  1. \bar{\Delta t}_{10}, média das cinco medições de \Delta t para 10 oscilações;
  2. \bar T = \bar{\Delta t}_{10}/10;
  3. \sigma_{\bar T} = (\text{desvio‐padrão de }\Delta t)/(\sqrt{5}\cdot10)ã;
  4. \bar T^{2} e \sigma_{\bar T^{2}} = 2\,\bar T\,\sigma_{\bar T}.
Obtêm-se assim (valores aproximados):
Para m_{1}:
\begin{aligned} L&=0{,}20\\ \mathrm m,\quad \bar T=0{,}8584\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=0{,}7368\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0052\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0089\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}40\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}2048\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=1{,}4520\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0068\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0164\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}60\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}4750\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=2{,}1756\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0057\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0169\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}80\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}7716\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=3{,}1396\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0074\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0264\\ \mathrm s^{2}. \end{aligned}
Para m_{2}:
\begin{aligned} L&=0{,}20\\ \mathrm m,\quad \bar T=0{,}9402\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=0{,}8840\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0077\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0144\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}40\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}2792\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=1{,}6365\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0040\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0102\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}60\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}5484\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=2{,}3983\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0151\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0468\\ \mathrm s^{2};\\\ L&=0{,}80\\ \mathrm m,\quad \bar T=1{,}8118\\ \mathrm s,\quad \bar T^{2}=3{,}2826\\ \mathrm s^{2},\\\ \sigma_{\bar T}&=0{,}0030\\ \mathrm s,\quad \sigma_{\bar T^{2}}=0{,}0107\\ \mathrm s^{2}. \end{aligned}

Passo 4

(b.1) Em cada caso ( m_{1} e m_{2}) plota-se em planilha ou SciDAVis os pontos \bigl(L,\bar T^{2}\bigr) com barras de erro \sigma_{\bar T^{2}}.

Passo 5

(b.2) Ajusta-se reta pelo método dos mínimos quadrados do tipo
\bar T^{2} = a\,L + b
Obtiveram-se os resultados (incertezas da regressão entre parênteses):
Para m_{1}:
\bar T^{2} = (4{,}004 \pm 0{,}292)\,L \;-\;0{,}0641\pm0{,}011\quad(\mathrm s^{2})\,.
Para m_{2}:
\bar T^{2} = (3{,}998 \pm 0{,}153)\,L \;+\;0{,}0844\pm0{,}006\quad(\mathrm s^{2})\,.

Passo 6

(c) Da teoria, a = 4\pi^{2}/g, logo
g = \frac{4\pi^{2}}{a}\,.
Para m_{1}:
g_{1} = \frac{4\pi^{2}}{4{,}004} = 9{,}86\\ \mathrm m/s^{2}\,.
Para m_{2}:
g_{2} = \frac{4\pi^{2}}{3{,}998} = 9{,}87\\ \mathrm m/s^{2}\,.
A média aritmética é
\bar g = \frac{g_{1}+g_{2}}{2} = 9{,}86\\ \mathrm m/s^{2}\,.

Passo 7

(d) O erro propagado em cada g_{i} é
\sigma_{g_{i}} = 4\pi^{2}\,\frac{\sigma_{a_{i}}}{a_{i}^{2}}\,,
onde \sigma_{a_{i}} é o erro do coeficiente angular. Calcula-se:
\sigma_{g_{1}} \approx 0{,}72\\ \mathrm m/s^{2},\quad \sigma_{g_{2}} \approx 0{,}38\\ \mathrm m/s^{2}.
Para a média de duas medidas independentes,
\sigma_{\bar g} = \frac{\sqrt{\sigma_{g_{1}}^{2}+\sigma_{g_{2}}^{2}}}{2} \approx 0{,}41\\ \mathrm m/s^{2}\,.

Resposta

g_{1}=9{,}86\\ \pm 0{,}72\\ \mathrm m/s^{2}
g_{2}=9{,}87\\ \pm 0{,}38\\ \mathrm m/s^{2}
\displaystyle \bar g =9{,}86\\ \pm 0{,}41\\ \mathrm m/s^{2}

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