Estudos de confiabilidade utilizam uma distribuição de probabilidade exponencial para expressar a vida útil esperada de uma máquina. Uma máquina de produção em uma fábrica tem uma vida útil esperada de 5 anos.
(a) (0.5) Indique a função de densidade de probabilidade f(t) para a variável aleatória T= número de anos até a máquina quebrar.
(b) (0.5) Determine a função de distribuição cumulativa para esta máquina.
(c) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina nova durar pelo menos 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte b.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.
(d) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina com 3 anos de uso durar pelo menos mais 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte c. Você não deve precisar dedicar muito tempo a esta questão.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória T como o número de anos até a máquina quebrar, assumindo distribuição exponencial com vida média \mathbb{E}[T]=5 anos. Vamos precisar
  1. Determinar o parâmetro \lambda a partir da média,
  2. Escrever a densidade f(t),
  3. Calcular a função de distribuição cumulativa F(t),
  4. Usar F para achar P(T\ge6),
  5. Explorar a propriedade de falta de memória para calcular P(T\ge3+6\mid T>3).

Passo 2

A distribuição exponencial satisfaz
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}
e aqui \mathbb{E}[T]=5, logo
\lambda=\frac{1}{5}.
A densidade de probabilidade é, para t\ge0,
f(t)=\lambda\,e^{-\lambda t}=\frac{1}{5}e^{-t/5}.

Passo 3

A função de distribuição cumulativa é
F(t)=P(T\le t)=\int_{0}^{t}f(s)\,ds =\int_{0}^{t}\frac{1}{5}e^{-s/5}ds =1-e^{-t/5}.

Passo 4

Para achar P(T\ge6), note que
P(T\ge6)=1-P(T<6)=1-F(6)=e^{-6/5}.
Esse é o valor exato; numericamente,
e^{-6/5}\approx e^{-1{,}2}\approx0{,}3012.

Passo 5

Para uma máquina já com 3 anos, queremos
P(T\ge3+6\mid T>3) =\frac{P(T>9)}{P(T>3)}.
Pela falta de memória da exponencial, isso vale exatamente
P(T\ge6)=e^{-6/5}
novamente, cuja aproximação é 0{,}3012.

Resposta

(a) A densidade é
f(t)=\frac{1}{5}e^{-t/5},\quad t\ge0.
(b) A distribuição cumulativa é
F(t)=1-e^{-t/5}.
(c)
P(T\ge6)=e^{-6/5}\approx0{,}3012.
(d)
P(T\ge3+6\mid T>3)=e^{-6/5}\approx0{,}3012.

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