Estudos de confiabilidade utilizam uma distribuição de probabilidade exponencial para expressar a vida útil esperada de uma máquina. Uma máquina de produção em uma fábrica tem uma vida útil esperada de 5 anos.
(a) (0.5) Indique a função de densidade de probabilidade
para a variável aleatória
número de anos até a máquina quebrar.
(b) (0.5) Determine a função de distribuição cumulativa para esta máquina.
(c) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina nova durar pelo menos 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte b.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.
(d) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina com 3 anos de uso durar pelo menos mais 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte c. Você não deve precisar dedicar muito tempo a esta questão.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.
(a) (0.5) Indique a função de densidade de probabilidade
(b) (0.5) Determine a função de distribuição cumulativa para esta máquina.
(c) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina nova durar pelo menos 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte b.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.
(d) (0.5) Encontre a probabilidade de uma máquina com 3 anos de uso durar pelo menos mais 6 anos antes de quebrar. (Pense cuidadosamente sobre o que esta questão está perguntando e como ela se relaciona com a parte c. Você não deve precisar dedicar muito tempo a esta questão.) Dê uma resposta com valor exato e uma aproximação arredondada para 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado define a variável aleatória
como o número de anos até a máquina quebrar, assumindo distribuição exponencial com vida média
anos. Vamos precisar
- Determinar o parâmetro
a partir da média, - Escrever a densidade
, - Calcular a função de distribuição cumulativa
, - Usar
para achar , - Explorar a propriedade de falta de memória para calcular
.
Passo 2
A distribuição exponencial satisfaz
e aqui
, logo
A densidade de probabilidade é, para
,
Passo 3
A função de distribuição cumulativa é
Passo 4
Para achar
, note que
Esse é o valor exato; numericamente,
Passo 5
Para uma máquina já com 3 anos, queremos
Pela falta de memória da exponencial, isso vale exatamente
novamente, cuja aproximação é
.
Resposta
(a) A densidade é
(b) A distribuição cumulativa é
(c)
(d)