Em um experimento, a reação química esperada acontece em uma vez a cada três experimentos. Considere que esse experimento foi realizado 12 vezes de forma independente. Agora obtenha:
O número esperado de experimentos até a primeira reação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a cada experimento a chance de “sucesso” (a reação química acontecer) é . Eles repetem o experimento 12 vezes, mas a pergunta principal é: “qual o número esperado de experimentos até a primeira reação?”.
Conteúdo: distribuição geométrica (tempo até o primeiro sucesso).
O que vamos usar:
  • Definição da variável geométrica
  • Fórmula da esperança de uma geométrica

Passo 2

Explicando a teoria: na distribuição geométrica, a gente define uma variável aleatória P(X = k) ;=;(1-p)^,k-1,p, k = 1,2,3,dots que é “quantos testes até o primeiro sucesso”.
  • A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente no teste E[X] =sumk=1^infty k,(1-p)^k-1,p é
sumk=1^infty k,q^,k-1 ;=;1(1-q)^2,
  • A esperança (valor médio) dessa variável é
Para não pular etapas, usamos um resultado de série infinita:
válido sempre que . Aqui .

Passo 3

Agora é só aplicar:
  1. Identificamos E[X] = p sumk=1^infty k,q^,k-1 = p cdot 1(1-q)^2 = 13 cdot 1l(1-tfrac23r)^2 = 13 cdot 1(tfrac13)^2 = 13 cdot 9 = 3 , então .
  2. Substituindo na fórmula da esperança:

Resposta

O número esperado de experimentos até a primeira reação é 3.

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