Em um experimento, a reação química esperada acontece em uma vez a cada três experimentos. Considere que esse experimento foi realizado 12 vezes de forma independente. Agora obtenha:
A probabilidade da terceira reação ter acontecido no décimo experimento.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo: a cada experimento a chance de dar a reação esperada é P(N = n) ;=; binomn-1k-1,p^k,(1-p)^,n-k . A gente faz 12 experimentos no total e quer saber qual a probabilidade de a terceira reação bem-sucedida acontecer exatamente no décimo experimento.
Conteúdo: Distribuição Binomial Negativa (ou Pascal). Vamos usar a fórmula que dá a probabilidade de o -ésimo sucesso ocorrer no -ésimo ensaio, ou seja,

Passo 2

O que essa fórmula diz é: para termos o 3º sucesso no 10º experimento, precisamos de exatos 2 sucessos nos primeiros 9 e depois sucesso no 10.
  • Número de jeitos de escolher onde vêm esses 2 sucessos em 9 tentativas: .
  • Probabilidade de ter esses 2 sucessos ( ) e 7 falhas nas 9 primeiras.
  • E ainda multiplicar pela probabilidade de sucesso no experimento 10, que é .

Passo 3

Agora cabe montar a expressão com P = binom10-13-1,l(tfrac13r)^3,l(tfrac23r)^10-3 = binom92,l(tfrac13r)^3,l(tfrac23r)^7 , e :

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. P = 36 times 127 times 1282187 = 36 times 12827 times 2187 = 460859049
  2. 460859049 = 5126561

  3. Multiplicando tudo:
Dá pra simplificar dividindo por 9:

Resposta

boxed5126561approx 0,0780

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