Em um experimento, a reação química esperada acontece em uma vez a cada três experimentos. Considere que esse experimento foi realizado 12 vezes de forma independente. Agora obtenha:
O número esperado de experimentos para obtenção três reações.
O número esperado de experimentos para obtenção três reações.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em cada experimento a chance da reação rolar é de
, e isso é independente em 12 tentativas. O que a gente quer mesmo é: “quantos experimentos, em média, são necessários pra ter 3 reações?”
Isso cai na teoria de distribuição Binomial Negativa (ou Pascal), onde a gente conta quantos testes são precisos pra conseguir um certo número de “sucessos” (aqui, 3 reações). Vamos precisar saber a fórmula do valor esperado dessa distribuição.
Isso cai na teoria de distribuição Binomial Negativa (ou Pascal), onde a gente conta quantos testes são precisos pra conseguir um certo número de “sucessos” (aqui, 3 reações). Vamos precisar saber a fórmula do valor esperado dessa distribuição.
Passo 2
Antes de calcular, bora lembrar a teoria:
- Cada experimento é um ensaio de Bernoulli, com probabilidade de sucesso
. - Na Binomial Negativa, a gente define:
-
= número de sucessos que queremos (aqui, ), -
= número de ensaios até obter esses sucessos.
-
- O valor esperado (a média) dessa
é dado por
Passo 3
Agora, é só aplicar:
-
(queremos 3 reações) -
(chance de reação em cada experimento)
Logo,
Resposta
Em média, são necessários 9 experimentos para se obter 3 reações.